2025　岩手大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$f(x)=\sqrt{3}{\sin }^{2}x$$+\sin x\cos x$の最大値と最小値を求めよ．また，それぞれのときの$x$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　$0<a<2$とする．${\displaystyle {\int }_0^2}|x-a|\mathit{dx}={\displaystyle \frac{5}{4}}$のとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とするとき，関数$f(x)$$=16x^3$$-20a{x}^2$$+8a^{2}x-a^3$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(2)　$f(x)$の極値を求めよ．

(3)　関数$f(x)$が極大になるときの$x$の値を$t_a$とし，$xy$平面上の点$(t_a,f(t_a))$を$\mathrm{P}$とする．$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，点$\mathrm{P}$はどのような曲線上を動くか求めよ．

【３】　正六角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1{\mathrm{F}}_1$の辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$を$(1-r):r$$\text{（}0<r<1\text{）}$に内分する点を${\mathrm{A}}_2\text{，}$同様に辺${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1\text{，}$${\mathrm{D}}_1{\mathrm{E}}_1\text{，}$${\mathrm{E}}_1{\mathrm{F}}_1\text{，}$${\mathrm{F}}_1{\mathrm{A}}_1$を$(1-r):r$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2\text{，}$${\mathrm{D}}_2\text{，}$${\mathrm{E}}_2\text{，}$${\mathrm{F}}_2$とし，この$6$点からなる正六角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2{\mathrm{E}}_2{\mathrm{F}}_2$を作る．次に正六角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2{\mathrm{E}}_2{\mathrm{F}}_2$の各辺を$(1-r):r$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_3\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{，}$${\mathrm{C}}_3\text{，}$${\mathrm{D}}_3\text{，}$${\mathrm{E}}_3\text{，}$${\mathrm{F}}_3$とし，この$6$点からなる正六角形${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3{\mathrm{D}}_3{\mathrm{E}}_3{\mathrm{F}}_3$を作る．このようにして無数の正六角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2{\mathrm{D}}_2{\mathrm{E}}_2{\mathrm{F}}_2\text{，}$正六角形${\mathrm{A}}_3{\mathrm{B}}_3{\mathrm{C}}_3{\mathrm{D}}_3{\mathrm{E}}_3{\mathrm{F}}_3\text{，}$$\cdots \text{，}$正六角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n{\mathrm{E}}_n{\mathrm{F}}_n\text{，}$$\cdots$を作る．正六角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n{\mathrm{D}}_n{\mathrm{E}}_n{\mathrm{F}}_n$の$1$辺の長さを$l_n\text{，}$面積を$S_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S_2\text{，}$$S_3$をそれぞれ$l_1$および$r$を用いて表せ．

(2)　$S_n$を$l_1\text{，}$$r$および$n$を用いて表せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$を$l_1$および$r$を用いて表せ．