2025　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$x^2-7x+9=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，${\displaystyle \frac{2\beta }{\alpha }}$$+{\displaystyle \frac{2\alpha }{\beta }}+{\displaystyle \frac{1}{\alpha \beta }}$の値，および$({\alpha }^3+8)({\beta }^3+8)$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(3k^2-3k+1)$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　$a={\log }_{2}3$とするとき，$4^a$の値，および${32}^a$の値を求めよ．さらに，${\displaystyle \frac{3}{2}}<a<{\displaystyle \frac{8}{5}}$であることを示せ．

【２】　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$は点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の円の周上にあり，

$17\overrightarrow{\mathrm{OA}}+8\overrightarrow{\mathrm{OB}}+15\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$を求めよ．

(2)　$\mathrm{▵OAB}\text{，}$$\mathrm{▵OBC}\text{，}$$\mathrm{▵OCA}$の面積をそれぞれ求めよ．

【３】　$50$本のくじがあり，そのうち当たりくじは$15$本，はずれくじは$35$本とする．この$50$本のくじのうち$m$本を箱$\mathrm{A}$に入れ，残りの$(50-m)$本を箱$\mathrm{B}$に入れる．このとき箱$\mathrm{A}$に入っている当たりくじの本数を$n$とする．

　コインを$1$枚投げ，表が出たら箱$\mathrm{A}$からくじを$1$本引き，裏が出たら箱$\mathrm{B}$からくじを$1$本引くことにする．この試行により当たりくじを引く確率を$P(m,n)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，コインを$1$枚投げたとき，表と裏はどちらも${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で出るものとする．

(1)　$0\leqq n\leqq 15$を満たす整数$n$のうち，$P(20,n)$の値を最大にする$n$を求めよ．

(2)　$15\leqq m\leqq 35$かつ$0\leqq n\leqq 15$を満たしながら整数$m\text{，}$$n$が動くとき，$P(m,n)$の最大値を求めよ．

(3)　$1\leqq m<15$かつ$0\leqq n\leqq m$を満たしながら整数$m\text{，}$$n$が動くとき，$P(m,n)$の最大値を求めよ．

【４】　$3$点$(0,1)\text{，}$$(3,-5)\text{，}$$(-3,25)$を通り，対称軸が$y$軸と平行である放物線を$C$する．放物線$C$に接し，かつ曲線$y=x^3-3x$にも接する直線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　放物線$C$の方程式を求めよ．

(2)　直線$l$の方程式を求めよ．

(3)　直線$l$と放物線$y=-x^2-x+3$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　曲線$y={\displaystyle \frac{x}{e^x}}$を$C$とし，曲線$C$の変曲点における接線を$l$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$C$の変曲点の座標を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と接線$l$と$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　$z^2=i$となる複素数$z$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位である．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　次の$3$つの数を大きいほうから並べよ．

$2^{100}\text{，}$$3^{75}\text{，}$$5^{50}$

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　座標平面上の$2$直線$l_1\text{：}x-2y-3=0\text{，}$$l_2\text{：}mx+y+1=0$が点$\mathrm{P}$で交わっている．この点$\mathrm{P}$を中心とし半径が$r$の円を$C$とする．円$C$と直線$l_1$の$2$交点を$\mathrm{A}\text{，}$${\mathrm{A}}^{\prime }$とし，円$C$と直線$l_2$の$2$交点を$\mathrm{B}\text{，}$${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．四角形$\mathrm{AB}{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$の面積が$2r^2$のとき，定数$m$の値を求めよ．

【２】　図のような道がある．次の場合の最短経路は何通りあるか．

(1)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$まで行く．

(2)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$を通って$\mathrm{D}$まで行く．

(3)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$を通らずに$\mathrm{D}$まで行く．

(4)　$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$を通って$\mathrm{D}$まで行く．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{p}$とする．$\left|\overrightarrow{a}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=4\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=-2$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{CB}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{p}$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{EP}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{p}$を用いてそれぞれ表せ．

(2)　$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{p}\right|$の値を求めよ．

(4)　辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{AF}}}$の値を求めよ．

【４】　等差数列$\{a_n\}$は，数列$\{b_n\}$の階差数列であるとする．数列$\{a_n\}$の初項から第$15$項までの和が$375$であり，第$22$項から第$26$項までの和が$285$である．数列$\{b_n\}$の初項が$b_1=5$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の初項と公差を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　数列$\{b_n\}$の第$11$項から第$100$項までの和を求めよ．

【５】　自然数$n$に対して，$a_n={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\tan }^{2n}x\mathit{dx}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{4}}}{\displaystyle \frac{{\tan }^{2n}x}{{\cos }^{2}x}}\mathit{dx}$を$n$の式で表せ．

(3)　$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

(5)　$1+\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}$を求めよ．

【５】　ある作物の種を$N$日間続けて畑にまくとする．ただし，$N$は$2$以上の自然数とする．

　$N$日間毎日，まだ種がまかれていない畑の部分に種をまく．そして，その日に種をまいた部分には$1{\mathrm{m}}^2$当たり$10\mathrm{L}$の水をまき，その前日までに種をまいた部分には$1{\mathrm{m}}^2$当たり$5\mathrm{L}$の水をまく．

　さらに，$2$日目から$N$日目については，その日にまく水の総体積がその前日にまいた水の総体積より$3\mathrm{L}$少なくなるように，種をまく部分の面積を調整する．

　以上の条件を満たすように$1$日目から$N$日目まで畑に種と水をまくことができたとし，$1\leqq n\leqq N$の範囲の自然数$n$に対し，$n$日目に種をまいた部分の面積$\text{（}{\mathrm{m}}^2\text{）}$を$a_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$1\leqq n\leqq N$の範囲の自然数$n$に対し，$a_n$を$a_1$と$n$を用いて表せ．

(2)　$N=5$とし，$1$日目から$5$日目までの$5$日間で種をまいた部分の面積の合計が$90{\mathrm{m}}^2$であったとする．このとき，$5$日目に種をまいた部分の面積$\text{（}{\mathrm{m}}^2\text{），}$および$5$日目にまいた水の総体積$\text{（}\mathrm{L}\text{）}$を求めよ．