2025　弘前大学　後期理工学部MathJax

【１】　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　$e^{-\frac{x^2}{2}}$の導関数を求めよ．その結果を用いて次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_1^2}{x}^2{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathit{dx}-{\displaystyle {\int }_1^2}{e}^{-\frac{x^2}{2}}\mathit{dx}$

(2)　次の定積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_1^2}(1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})e^{-\frac{x^2}{2}}\mathit{dx}$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$n$を正の整数とする．次の不等式を示せ．

$0\leqq {\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^n}{1+x}}\mathit{dx}\leqq {\displaystyle \frac{1}{n+1}}$

(2)　$n$が$2$以上の整数であるとき，$0\leqq x\leqq 1$に対して

$1-x+x^2-x^3$$+\cdots$$+{(-x)}^{n-1}$$={\displaystyle \frac{1-{(-x)}^n}{1+x}}$

が成り立つことを用いて，無限級数

$1-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}$$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$+\cdots$$+{\displaystyle \frac{{(-1)}^{n-1}}{n}}+\cdots$

の和を求めよ．

【３】　$1$個のさいころを$6$回続けて投げるとき，$k$回目に出た目を$N_k$とし，積$N_1{N}_2{N}_3{N}_4{N}_5{N}_6$を$N$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$N$が$2025$で割り切れる確率を求めよ．

(2)　$N$が$20000$以上の平方数であったとき，$N$が$2025$で割り切れる確率を求めよ．ただし，平方数とは，ある整数$n$が存在して$n^2$と表される整数のことである．