2025　弘前大学　前期MathJax

【１】　$a$を定数とし，$f(x)=2\cos 2x$$-4(a-2)\cos x$$-(2a-5)$とおく．ただし，$0\leqq x<2\pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$t=\cos x$とおくとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．

(2)　方程式$f(x)=0$の異なる実数解の個数がちょうど$2$個となるような$a$の範囲を求めよ．

【２】　$a$を負の定数とする．$xy$平面上の曲線$C\text{：}y=a{x}^2$$-(1+a)x+1$上の点$\mathrm{A}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2-a}{4}})$における曲線$C$の接線を$l$とする．$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とし，点$\mathrm{Q}$を通り曲線$C$に接する直線で$l$と異なるものを$m$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．

(2)　直線$m$が$x$軸と交わるような$a$の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲にあるとし，直線$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{\angle PQR}=30\mathrm{°}$となる$a$の値をすべて求めよ．

【３】　$p\text{，}$$q$を定数とし，さらに$q\ne 0$とする．$xy$平面上の点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(p,q)$に対し，線分$\mathrm{OA}$を$3:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$線分$\mathrm{OB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{D}$とする．直線$\mathrm{BC}$と直線$\mathrm{AD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{B}$が円$x^2+{(y-3)}^2=1$上を動くとき，点$\mathrm{E}$の軌跡を求めよ．

(3)　(2)において，線分$\mathrm{OE}$の長さが最小になるときの点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

【４】　次の定積分を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)}}\mathit{dx}$

【４】　次の定積分を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(2)　${\displaystyle {\int }_1^e}x{(\log x)}^2\mathit{dx}$

【５】　$0<x\leqq 2\pi$において，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^2}}$

と定める．次の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f^{\prime }(x)=0$となる$x$は$x=\pi$のみであることを示せ．

(3)　$f(x)$の最大値を求めよ．

【６】　$a$を正の定数とする．$xy$平面上で，点$\mathrm{F}(a,0)$および直線$l\text{：}x=-a$を考える．点$\mathrm{Q}$は$l$上にあるとする．線分$\mathrm{FQ}$の垂直二等分線を$l^{\prime }$とし，$\mathrm{Q}$を通り$l$に垂直な直線を$l^{″}$とし，$l^{\prime }$と$l^{″}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{Q}$が$l$上を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は点$\mathrm{F}$を焦点とし，$l$を準線とする放物線をえがくことを示せ．

(2)　(1)の放物線を$C$とする．点$\mathrm{Q}$によって定まる$l^{\prime }$および$\mathrm{P}$について，$l^{\prime }$は放物線$C$の点$\mathrm{P}$における接線であることを示せ．

【７】　座標空間において，$5$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,2,1)\text{，}$$\mathrm{C}(0,0,-1)\text{，}$$\mathrm{P}(x,y,z)$がある．ただし，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$上にあるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$の値の範囲を求め，$y$と$z$をそれぞれ$x$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積を求めよ．

(3)　$\mathrm{\angle ACP}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$となるときの$x$の値を求めよ．

【８】　座標平面において，$0\leqq x\leqq \pi$の範囲で$2$曲線

$y=2\sin x\text{，}$$y=|\sin 2x|$

で囲まれた部分を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$D$の面積を求めよ．

(2)　$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【９】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$を次のように定める．

$f(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x+{\displaystyle \frac{9}{x^2}}$

このとき，$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=4\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}_n+{\displaystyle \frac{9}{{a_n}^2}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，すべての正の整数$n$に対して$a_n\geqq 3$が成り立つことを示せ．

(3)　(2)で定めた数列$\{a_n\}$について，すべての正の整数$n$に対して

$a_{n+1}-3\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}{(a_n-3)}^2$

が成り立つことを示せ．