2025　北見工業大学　後期MathJax

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(1)　$y=\log (\cos x)$の第$2$次導関数は$y^{″}=\text{(ⅰ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x}{x+1}}\mathit{dx}=\text{(ⅱ)}$

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(3)　$\underset{x\to \sqrt{3}}{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{3}x-3}{x^2-3}}=\text{(ⅲ)}$

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(4)　関数$y={\displaystyle \frac{4-x}{4+x}}$$\text{（}0\leqq x\leqq 3\text{）}$について，$y$のとり得る値の範囲は$\text{(ⅳ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(5)　$2$次方程式$x^2+2025x+5=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とすると，${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\beta }}=\text{(ⅴ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(6)　${\displaystyle \int }x{e}^{2x}\mathit{dx}=\text{(ⅵ)}+C$（ただし，$C$は積分定数）

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(7)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,-1,0)\text{，}$$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{2})$のなす角を$\theta$とすると，$\theta =\text{(ⅶ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(8)　$i$を虚数単位とする．複素数$z$に関する方程式$z^2=i$の解の偏角をすべて求めると$\text{(ⅷ)}$である．ただし，偏角は$0$以上$2\pi$未満とする．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(9)　中身が見えない$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$があり，それぞれ以下の割合で赤玉と白玉が入っている．

$\text{(箱}\mathrm{A}\text{)}\text{赤}:\text{白}=1:1\text{，}$$\text{(箱}\mathrm{B}\text{)}\text{赤}:\text{白}=1:2\text{，}$$\text{(箱}\mathrm{C}\text{)}\text{赤}:\text{白}=2:1$

まず，$3$つの箱の中から$1$つの箱を等確率で選ぶ．ただし，この時点で$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$のどの箱を選んだかはわからない．選んだ箱から玉を$1$つ取り出したとき，その玉の色は「赤」であった．取り出した玉が「赤」という条件のもとで，選んだ箱が$\mathrm{C}$であった条件付き確率は$\text{(ⅸ)}$である．

【１】　以下の空欄(ⅰ)〜(ⅹ)をうめよ．なお，(10)については(A)〜(D)の中から適切なものを選べ．

(10)　$z$を複素数とする．$z$が実数であることは，$z^2$が実数であるための$\text{(ⅹ)}\text{．}$

(A)　必要十分条件である

(B)　十分条件だが必要条件ではない

(C)　必要条件だが十分条件ではない

(D)　必要条件でも十分条件でもない

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=x\sqrt{x+1}$$\text{（}x\geqq -1\text{）}$

で定める．以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．なお，凹凸は調べなくてよい．

(3)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(2,2\sqrt{3})$を通り，点$\mathrm{P}$における接線と垂直に交わる直線を$n$とする．$n$の方程式を求めよ．

(4)　曲線$y=f(x)$の$x\geqq 0$の部分と，(3)で求めた直線$n$と$x$軸とで囲まれた図形を$D$とする．$D$を$x$軸のまわりに $1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=2\text{，}$$a_{n+1}=4-{\displaystyle \frac{3}{a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．また，数列$\{b_n\}$を

$b_1=a_1\text{，}$$b_{n+1}=a_n{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．以下の問に答えよ．

(1)　$a_3$を求めよ．

(2)　数列$\{b_n\}$が

$b_{n+2}-4b_{n+1}+3b_n=0$

を満たすことを示せ．

(3)　$c_n=b_{n+1}-b_n$とする．数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．

(4)　数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(5)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【４】　北見さんは，宝の場所までの道順を示す古文書を発見した．以下の道順（古文書の翻訳）と北見さんの考察を読み，文章中の問１〜問４に答えることで，宝の地図を完成させよ．

　現地を調査したところ，道路$1$は地点$\mathrm{O}$から東に向かう道路であることがわかった．また道路$3$は地点$\mathrm{O}$を通る直線的な道路であり，道路$1$と$60\mathrm{°}$で交差することがわかった．道路$2$は地点$\mathrm{O}$を通り，道路$1$と道路$3$の間にある直線的な道路であったことはわかったが，現在はなくなっていた．また，地点$\mathrm{A}$は道路$1$上にあり，地点$\mathrm{O}$と$4\mathrm{km}$離れていることがわかった．

　北見さんは，道路$2$がわからないと宝の場所を特定できないのではないかと考えた．しかし，先生に相談したところ，次の助言を得た．

　先生の助言が正しいかどうかを確かめて，宝の地図を完成させよう．

【北見さんの考察】

　地点$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面を考える．$i=1\text{，}$$2\text{，}$$3$に対して，道路$i$を原点を通る直線$l_i$とみなし，具体的に

$l_1\text{：}y=0\text{，}$$l_2\text{：}y=(\tan \theta )x\text{，}$$l_3\text{：}y=(\tan {\displaystyle \frac{\pi }{3}})x$

と定める．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$とする．さらに，道順の「まっすぐ進め」は，「出発点から，目標の道路に対して垂直な方向に進み，目標の道路上で止まる」と解釈する．また，道順の「背にして進め」は，「出発点から，出発する道路に対して垂直な方向に進み，目標の道路上で止まる」と解釈する．

　例えば，道路$l_i$上の点$\mathrm{X}$が出発点の場合，$\text{「}\mathrm{X}$から道路$l_j$へまっすぐ進め」を図示したものが下図の左であり，$\text{「}\mathrm{X}$から道路$l_i$を背にして道路$l_j$まで進め」を図示したものが下図の右である．

　点$\mathrm{A}$の座標を$(4,0)$とし，道順$\text{①}$で到達した点を$\mathrm{B}$とする．直線$\mathrm{AB}$が$l_2$と垂直に交わることから，点$\mathrm{B}$の座標は$\theta$を用いて表せる．

　道順$\text{②}$で到達した点を$\mathrm{C}$とし，道順$\text{③}$で到達した点を$\mathrm{D}$とする．点$\mathrm{D}$は$l_1$上にあることから，点$\mathrm{D}$の座標を$(d,0)$とおく．直線$\mathrm{BC}$が$l_3$と垂直に交わることから，$d$は$\theta$を用いて表せる．

　道順$\text{④}$で到達した点を$\mathrm{E}$とし，道順$\text{⑤}$で到達した点（宝の場所）を$\mathrm{F}$とする．直線$\mathrm{EF}$が$l_2$と垂直に交わることから，点$\mathrm{F}$の座標を求められる．点$\mathrm{F}$の座標が$\theta$によらなければ，先生の助言が正しいといえる．

　最後に，宝の地図を完成させよう．