2025　旭川医科大学　前期MathJax

【１】　次の媒介変数表示をもつ曲線$C$を考える．媒介変数$t$は実数全体を動くとする．

$x=f(t)=e^t-e^{-t}\text{，}$$y=g(t)=e^t+e^{-t}\text{．}$

このとき，次の問いに答えよ．

問１　$x\text{，}$$y$のとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．

問２　$C$上の点$(x,y)$に対して，$y$を$x$を用いて表せ．

問３　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，$T>0$に対して，$a=f(T)\text{，}$$b=g(T)$とおき，$C$上に点$\mathrm{P}(a,b)$をとる．$0\leqq x\leqq a$における$C$の部分と$y$軸および線分$\mathrm{OP}$によって囲まれる図形を$D$とする．$D$の面積$S$を$T$を用いて表せ．

問４　問３で定めた$b\text{，}$$D$について，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を$b$を用いて表せ．

【２】　次の問いに答えよ．

問１　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数で$a>0\text{，}$$b\geqq 0\text{，}$$c\geqq 0\text{，}$$b\ne c$とする．座標空間内の$2$点$\mathrm{P}(a,0,b)\text{，}$$\mathrm{Q}(0,a,c)$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$を$z$軸のまわりに$1$回転させて得られる曲面と$2$つの平面$z=b$および平面$z=c$で囲まれる立体$K$の体積を求めよ．

問２　$t$は実数で$0<t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$t\ne {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．

$a=t\text{，}$$b=\sin t\text{，}$$c=\cos t$

として，問１の立体$K$の体積を$V(t)$で表すことにする．

(1)　$0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$t\ne {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$の範囲で$V(t)$が極大となる点はただ$1$つ存在することを示せ．

(2)　(1)の極大となる点を$t_0$とするとき，

${\displaystyle \frac{\pi }{6}}<t_0\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{，}$$V(t_0)<{\displaystyle \frac{1}{10}}V\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)$

が成り立つことを示せ．必要ならば，$3.14<\pi <3.15\text{，}$$1.73<\sqrt{3}<1.74$を用いてよい．

【３】　外接円の半径が$1$である$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle BAC}=60\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle ABC}=45\mathrm{°}$とする．$\mathrm{\angle BAC}$の二等分線と，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{▵ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{P}$とする．また，点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{\angle BDP}=\mathrm{\angle CLP}$となる点$\mathrm{L}$をとる．さらに直線$\mathrm{LD}$と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{LM}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

問１　線分$\mathrm{BD}\text{，}$線分$\mathrm{CD}$の長さをそれぞれ求めよ．

問２　$\mathrm{\angle CLP}\text{，}$$\mathrm{\angle BDM}$をそれぞれ求めよ．

問３　四角形$\mathrm{MBPN}$と四角形$\mathrm{AMNC}$の面積の比を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とする．赤玉と白玉がそれぞれ$n$個ずつ入った$1$つの袋から$1$個の玉を取り出す操作を考える．取り出した玉はもとに戻さず，袋の中が空になるまでこの操作を繰り返す．$i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$2n$として，$i$回の操作後に取り出した赤玉と白玉の個数をそれぞれ$r_i\text{，}$$w_i$とする．また，次の条件を満たす場合の数を$a_n$とする．

すべての$i=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$2n$に対して，$r_i\geqq w_i\text{．}$

このとき，次の問いに答えよ．

問１　$a_3\text{，}$$a_4\text{，}$$a_5$を求めよ．

問２　$a_n$を求めよ．

問３　${}_{2n}C_n$を二項係数とするとき，${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{n}}}\leqq {\displaystyle \frac{{}_{2n}C_n}{4^n}}$$\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2n+1}}}$を示せ．

問４　$N$を正の整数とするとき，${\displaystyle \frac{N}{2(N+1)}}$$\leqq {\displaystyle \sum _{n=1}^N}{\displaystyle \frac{a_n}{4^n\sqrt{n}}}$$\leqq {\displaystyle \frac{N}{\sqrt{2}(N+1)}}$を示せ．