2025　帯広畜産大学　前期総合問題MathJax

【５】

問１

1)　$4\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}})$の値を整数で表しなさい．

【５】

問１

2)　$3n>{\log }_{2}129$を満たす最小の整数$n$の値を求めなさい．

【５】

問１

3)　座標平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,2)$と$\overrightarrow{b}=({\displaystyle \frac{2}{t}},t)$が平行であるとき，実数$t$の値をすべて求めなさい．ただし，$t$は$0$でないとする．

【５】

問２　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺上を，点$\mathrm{M}$が反時計回りに動く（図１）．点$\mathrm{M}$は頂点$\mathrm{A}$から出発して，$1$枚の硬貨を$1$回投げるごとに，表ならば$1\text{，}$裏ならば$2$だけ反時計回りに辺上を進む．$1$枚の硬貨を$n$回投げて点$\mathrm{M}$が移動後に頂点$\mathrm{A}$にある確率を$P_n\text{，}$$\mathrm{B}$にある確率を$Q_n\text{，}$$\mathrm{C}$にある確率を$R_n$とする．ただし，各回の硬貨を投げる試行は互いに独立であり，また，表と裏の出る確率はそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$n$は正の整数である．

1)

(1)　$P_1\text{，}$$Q_1\text{，}$$R_1$の値をそれぞれ求めなさい．

(2)　$P_2\text{，}$$Q_2\text{，}$$R_2$の値をそれぞれ求めなさい．

(3)$\text{「}1$枚の硬貨を$2$回投げて点$\mathrm{M}$が移動後に頂点$\mathrm{A}$にあり，かつ，そこからさらに$1$枚の硬貨を$1$回投げて点$\mathrm{M}$が移動後に頂点$\mathrm{B}$にある」という事象を考える．この事象が起こる確率を求めなさい．

2)

(1)　すべての正の整数$n$に対して，$P_{n+1}=a(Q_n+R_n)$を満たす実数$a$の値を求めなさい．

(2)　すべての正の整数$n$に対して，$P_n$を$n$の式で表しなさい．

(3)　$0<P_n-Q_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{32}}$を満たす$n$の必要十分条件を求め，それを導く過程も説明しなさい．

【５】

問３　$xy$座標平面上の曲線

$C\text{：}y=3x^2+2r^2\text{，}$

第$1$象限内の弧

$A\text{：}{x}^2+y^2=4r^4$$\text{（}x>0\text{，}$$y>0\text{），}$

また直線

$L_1\text{：}y=tx$

を考える．ただし，$r>0\text{，}$$t>0$はそれぞれ実数とする．曲線$C$と直線$L_1$は接し，その接点を$\mathrm{P}$とする．接点$\mathrm{P}$の$x$座標を$x_{\mathrm{P}}$とし，接点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$L_2$とする．

1)

(1)　$x_{\mathrm{P}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}}r$である．$x_{\mathrm{P}}>2r^2$となる$r$の必要十分条件を求めなさい．

(2)　$t$を$r$の式で表しなさい．

2)　以下，$x_{\mathrm{P}}>2r^2$とする．

(1)　直線$L_1\text{，}$垂線$L_2\text{，}$$x$軸で囲まれた図形の面積$S_1$を$r$の多項式で表しなさい．

(2)　曲線$C\text{，}$垂線$L_2\text{，}$$x$軸，弧$A$で囲まれた図形の面積$S_2$を$r$の多項式で表しなさい．

(3)　直線$L_1\text{，}$弧$A\text{，}$$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_3$とする．また，曲線$C\text{，}$直線$L_1\text{，}$弧$A$で囲まれた図形の面積を$S_4$とする．$S_3-S_4$が最小になる$r$の値を求め，それを導く過程も説明しなさい．