2025　小樽商科大学　前期仙台会場MathJax

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{4}}\leqq x\leqq 8$のとき，$y=({\log }_{2}x-1)({\log }_{8}x-1)$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とすると，$(M,m)=\text{(a)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の長さは$2\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の長さは$3$で，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-1$が成り立つとする．直線$\mathrm{BC}$上に，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$が直交するように点$\mathrm{P}$をとる．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\text{(b)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$x>0$のとき，$(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})(x+{\displaystyle \frac{4}{x}})$の最小値を求めると，$\text{(c)}$である．

【２】　$a$を実数とし，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=-x^2+2ax-a$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わっているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　実数$a$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$a$が(1)で求めた範囲を働くとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡を求め，図示せよ．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{T}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{R}\text{，}$$\mathrm{U}$の$5$文字をすべて用いて$1$列に並べるとき，母音$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{U}$がこの順序である並べ方は全部で$\text{(ア)}$通りである．ただし，$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{U}$は隣り合わなくてもこの順に並んでいればよいものとする．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$\sin \theta +2\cos \theta$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とすると，$(M,m)=\text{(イ)}$である．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　${\displaystyle \sum _{k＝1}^{49}}{\displaystyle \frac{1}{k(k+1)(k+2)}}$を計算すると，$\text{(ウ)}$である．

【４】　$a\text{，}$$b$は実数で$a\ne 0$とする．関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx$が$x={\displaystyle \frac{a}{2}}$で極大値$-2a$をとるとき， $a$と$b$の値を求めよ．

【５】　$a$を実数とし，

$I(a)={\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{{(a\log x-x)}^2}{x}}\mathit{dx}$

とおく．$a$が実数全体を動くとき，$I(a)$を最小にする$a$と，そのときの$I(a)$の値を求めよ．ただし，$\log x$は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．