2025　小樽商科大学　前期小樽会場MathJax

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$a$と$b$を実数とする．$x$についての多項式$3x^4+7x^3$$+a{x}^2$$+bx+4$を$x^2+2x-3$で割ったときの余りが$3x-5$のとき，$(a,b)=\text{(a)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{(x+1)(x+2)}}$$+{\displaystyle \frac{1}{(x+2)(x+3)}}$$+{\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x+4)}}={\displaystyle \frac{12}{7}}$を満たす実数$x$で，$x\ne -1\text{，}$$-2\text{，}$$-3\text{，}$$-4$となるものをすべて求めると，$x=\text{(b)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　白玉$6$個と赤玉$3$個が入った袋から玉を$1$つずつ取り出し，取り出した玉は袋に戻さず，袋に玉がなくなるまで取り出す．$3\leqq k\leqq 9$である整数$k$について，$k$回目に$3$つ目の赤玉を取り出す確率を$k$の式で表すと，$\text{(c)}$である．

【２】　$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+{(-1)}^n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定められる数列$\{a_n\}$がある．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_2\text{，}$$a_3\text{，}$$a_4$を求めよ．

(2)　$b_n=2^{-\mathrm{n}}{a}_n$とおくとき，$b_n$と$b_{n+1}$の関係式を求めよ．

(3)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$a_n$を$n$の式で表せ．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}$のとき，関数$y=x^3-3x^2+2x$の最大値$M$と最小値$m$を求めると，$(M,m)=\text{(ア)}$である．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　不等式${20}^{25}<{25}^n$を満たす自然数$n$のうち最小のものは，$n=\text{(イ)}$である．必要があれば，$0.3<{\log }_{10}2<0.31$を用いよ．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，関数$y=\sin (2\theta )$$+\sqrt{2}(\sin \theta -\cos \theta )+1$の最大値$M$とそのときの$\theta$の値を求めると，$(M,\theta )=\text{(ウ)}$である．$t=\sin \theta -\cos \theta$とおいて考えよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$x^2-3y^2\geqq 0$の表す領域を図示せよ．

(2)　連立不等式$\{\begin{array}{l}{x}^2-3y^2\geqq 0\\ x^2+y^2-4x\leqq 0\end{array}$の表す領域の面積を求めよ．

【５】　$f(x)=e^{-x}\sin x\text{，}$$g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$と$g^{\prime }(x)$を計算せよ．

(2)　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots$に対し，$I_n$を

$I_n={\displaystyle {\int }_0^{n\pi }f(x)\mathit{dx}}$

で定める．このとき$I_n$を$n$の式で表せ．