2025　室蘭工業大学　前期MathJax

【１】　$a$を定数とし，$a>0$とする．関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$と定める．また，曲線$y=f(x)$の点$(a,f(a))$における接線を$l$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$l$と$x$軸との交点の座標を$(b,0)$とする．$b$を$a$を用いて表せ．

(3)　(2)の$b$に対し，$x$軸，$2$直線$x=a\text{，}$$x=b$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積$S$を求め，$S$が$a$によらない値であることを示せ．

【２】　関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$$(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$と定める．

(1)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$f^{″}(x)$を求め，$f(x)$は下に凸であることを示せ．

(3)　曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(0,f(0))\text{，}$$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{\pi }{4}},f({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\left)\right)$を通る直線を$l$とする．曲線$y=f(x)$と直線$l$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【３】　$a\text{，}$$b$を実数の定数とし，関数$f(x)$を$f(x)=(x-1)(x^2+2ax+b)$と定める．

(1)　$f(x)=0$がただ$1$つの実数解をもつための$a$と$b$に関する必要十分条件を求めよ．

(2)　$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための$a$と$b$に関する必要十分条件を求めよ．

(3)　$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつための$a$と$b$に関する必要十分条件を求めよ．

【４】　数列$\{a_n\}$は

$a_1=3\text{，}$$a_2=4\text{，}$$a_{n+2}=10a_{n+1}-24a_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たすとする．

(1)　すべての自然数$n$に対して

$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta (a_{n+1}-\alpha a_n)$

を満たす実数$\alpha$と$\beta$の組$(\alpha ,\beta )$を$2$組求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

【５】　$x$を実数とし，$4$点$\mathrm{A}(0,2,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,-1,1)\text{，}$$\mathrm{C}(3,5,-2)\text{，}$$\mathrm{P}(x,0,2-x)$を考える．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を成分表示せよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を満たす$x$と実数$s\text{，}$$t$を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$が定める平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{P}$があるとする．直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．