2025　北海道教育大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=x^2$を$C$とし，正の実数$t$に対して，$C$上の点$\mathrm{A}(t,t^2)$を考える．点$\mathrm{A}$を通り，$\mathrm{A}$における$C$の接線と垂直な直線を$m$とする．また，$C$と$m$の$2$つの共有点のうち，$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{B}$の$x$座標を$t$を用いて表せ．

(3)　$t$が正の実数全体を動くとき，点$\mathrm{B}$の$y$座標の最小値は$2$であることを示せ．また，そのときの$t$の値を求めよ．

(4)　点$\mathrm{B}$の$y$座標が$2$であるとき，放物線$C$と直線$m$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{\angle AOB}=150\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{OB}=2$であるとする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とし，辺$\mathrm{OA}$と線分$\mathrm{PQ}$は垂直であるとする．また，線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$が垂直であることを利用して，$\left|\overrightarrow{a}\right|$と$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を求めよ．

(3)　点$\mathrm{R}$が$\mathrm{OQ}$と$\mathrm{BP}$の交点であることを利用して，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=s\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$となる実数$s$を求めよ．

(4)　$\mathrm{▵OPR}$の面積を求めよ．

【３】　$\theta$を実数とし，$y=\sin \theta$$-\cos \theta$$-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin 2\theta$とおき，$t=\sin \theta -\cos \theta$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$y$を$t$の$2$次式で表せ．

(2)　$t=\sqrt{2}\sin (\theta +\alpha )$を満たす実数$\alpha$を$1$つ求めよ．また，$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．

(3)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$y$の最大値と最小値，また，そのときの$\theta$の値をそれぞれ求めよ．

(4)　$a\text{，}$$b$を実数とし，$a^2+b^2\ne 0$とする．$a\sin \theta +b\cos \theta$は，実数$\alpha$を用いて

$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$

と表せることを，加法定理を用いて証明せよ．