2025　北海道大学　フロンティア入試選択問題MathJax

【１】　$xy$座標平面において，連立不等式

$\{\begin{array}{l}{\log }_3(x^2-2\sqrt{3}x+y^2-4y+8)\leqq {\log }_{9}16\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{\sqrt{3}y}\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x}\end{array}$

が表す領域を$D$とする．

(1)　次の連立方程式を解け．

$\{\begin{array}{l}{\log }_3(x^2-2\sqrt{3}x+y^2-4y+8)={\log }_{9}16\\ {\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{\sqrt{3}y}={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2x}\end{array}$

(2)　領域$D$の面積を求めよ．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$y-\sqrt{3}x$のとりうる値の範囲を求めよ．

(4)　$a$を正の実数とする．点$(x,y)$が領域$D$を働くとき，$y+a{(x-\sqrt{3})}^2$の最小値を$a$で表せ．

【２】　$a>1$とする．$\mathrm{A}(1,0,1)$と$\mathrm{B}(0,0,a)$を$xyz$座標空間の$2$点とし，点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の球面を$S$とする．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$を，球面$S$と直線$\mathrm{BP}$がちょうど$1$つの共有点をもつように動かすとき，点$\mathrm{P}$が定める図形を$F$とする．

(1)　球面$S$の方程式を求めよ．また，実数$t$と$xy$平面上の点$\mathrm{Q}(x,y,0)$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$で点$\mathrm{R}$を定めるとき，点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点を表すものとする．

(2)　図形$\mathrm{F}$を表す方程式を$x\text{，}$$y\text{，}$$z$および$a$を用いて表せ．

(3)　図形$F$を，$a={\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}$$a=2$および$a=3$の場合に，$xy$平面上にそれぞれ図示せよ．

(4)　図形$F$に$x$座標が負であるような点が存在しないための$a$の値の範囲を求めよ．

【３】　$m$と$n$を自然数とする．$\theta$を実数とし，

$x(\theta )=(m+n)\cos \theta -n\cos ({\displaystyle \frac{m+n}{n}}\theta )\text{，}$$y(\theta )=(m+n)\sin \theta -n\sin ({\displaystyle \frac{m+n}{n}}\theta )$

とおく．$\mathrm{P}(\theta )$で座標平面の点$(x(\theta ),y(\theta ))$を表す．

(1)　点$\mathrm{P}(0)$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}(\pi )$が$x$軸上にあるための$m$と$n$の条件を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}(0)$と点$\mathrm{P}(\pi )$が原点$\mathrm{O}$に関して対称の位置にあるための$m$と$n$の条件を求めよ．

(4)　$m=2\text{，}$$n=1$とする．定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{d\theta }}}\right)}^2}\mathit{d\theta }$

の値を求めよ．

(5)　$m=3\text{，}$$n=1$とする．$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$x(\theta )$が最大となる$\theta$の値を求めよ．