2025　北海道大学　フロンティア入試共通問題MathJax

【１】　複素数$1-i$を$z$とし，複素数$w$の実部は負であるとする．複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)$と$\mathrm{A}(z)$および$\mathrm{B}(w)$は正三角形の$3$頂点をなすとする．

(1)　$0\leqq r$と$0\leqq \theta <2\pi$を用いて$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$と表すとき，$r$と$\theta$の値を求めよ．

(2)　$w$の値を求めよ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の中心を$\mathrm{C}$とする．点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．

【２】　$xy$座標平面上の放物線$y={(x-1)}^2$を$C$とし，数列$\{a_n\}$を次のように定める．$a_1=2$とする．自然数$n$に対し，点${\mathrm{P}}_n(a_n,0)$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を${\mathrm{Q}}_n$とし，点${\mathrm{Q}}_n$における$C$の接線と$x$軸との交点を${\mathrm{P}}_{n+1}(a_{n+1},0)$として$a_{n+1}$を定める．$S_n$は三角形${\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{P}}_n$の面積を表すものとする．

(1)　点${\mathrm{Q}}_n$における$C$の接線の方程式を，$x$と$y$および$a_n$を用いて表せ．

(2)　$S_n$を$a_n$で表せ．

(3)　$a_n$の一般項を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{S}_k$を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．$0\leqq x\leqq \pi$とし，$y=\cos 2x+a\cos x+a$とおく．

(1)　$t=\cos x$とおくとき，$y$を$t$と$a$で表せ．

(2)　$y=0$となる$x$がちょうど$1$つであるような$a$の条件を求めよ．

【４】　座標空間の原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{A}(1,1,0)$と$\mathrm{B}(0,1,-1)$が定める平面を$\alpha$とする．$t$を実数とし，点$\mathrm{P}(t-1,t^2+1,2-t)$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{PH}$を下ろす．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．

(2)　平面$\alpha$上で，点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{OAB}$の内部または周上にあるとき，$t$の値をすべて求めよ．

【５】　次の各問に答えよ．

(1)　$n$を$0$以上の整数とする．定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{x}{x}^n\mathit{dx}$の値を求めよ．

(2)　$a$と$b$を実数とする．すべての実数$s$と$t$に対して

${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{x}(63a{x}^2+35bx+15)(sx+t)\mathit{dx}=0$

が成り立つような$a$と$b$の値を求めよ．