2025　北海道大学　後期MathJax

【１】　$|\alpha -{\displaystyle \frac{3}{5}}|\leqq {\displaystyle \frac{1}{16}}$を満たす実数$\alpha$と関数$f(x)={\displaystyle \frac{5}{2}}x(1-x)$に対して，数列$\{a_n\}$を

$a_1=\alpha \text{，}$$a_{n+1}=f(a_n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

と定める．

(1)　方程式$f(x)={\displaystyle \frac{3}{5}}$を解け．

(2)　すべての実数$x$について

$|f(x)-{\displaystyle \frac{3}{5}}|$ \leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}(|x-{\displaystyle \frac{3}{5}}|+{\displaystyle \frac{1}{5}})|x-{\displaystyle \frac{3}{5}}|$$

となることを示せ．

(3)　すべての自然数$n$について

$|a_n-{\displaystyle \frac{3}{5}}|\leqq {\displaystyle \frac{1}{12}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$

となることを示せ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における関数

$f(\theta )=-{\displaystyle \frac{\cos \theta }{2\sin \theta }}+\cos \theta$

の最大値，最小値，および最小値をとる$\theta$を求めよ．

(2)　座標平面上の点$\mathrm{P}(0,a)$と点$\mathrm{Q}(b,0)$が，$a\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$b\geqq 0\text{，}$かつ線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$であるという条件を満たしながら動くとき，線分$\mathrm{PQ}$と直線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}$との共有点の$x$座標が動く範囲を求めよ．

【３】　$m$を実数，$\alpha \text{，}$$\beta$を$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．$\tan \alpha$と$3\tan \beta$が方程式$x^6+m{x}^3+27=0$の解であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$m\leqq -6\sqrt{3}$であることを示せ．また，等号が成立するときの$\alpha \text{，}$$\beta$の値を求めよ．

(2)　$\tan \alpha \ne 3\tan \beta$のとき，$\alpha +\beta$を求めよ．

(3)　$\tan \alpha \ne 3\tan \beta$のとき，$S=2\sin \alpha \cos \beta$がとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　右図のように，底面の半径が$1$で高さが$1$の直円柱を$S$とする．$S$の$2$つの底面をそれぞれ$T\text{，}$$U$とする．$T$の中心を$\mathrm{O}$とし，$T$の周上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を直線$\mathrm{AB}$と点$\mathrm{O}$との距離が${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$となるようにとる．点$\mathrm{O}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線と直線$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{C}$とし，$U$の周上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CD}\perp \mathrm{AB}$かつ$\mathrm{\angle OCD}$が鋭角となるようにとる．$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$を含む平面を$\alpha$とし，$S$を$\alpha$で分割してできる$2$つの立体のうち点$\mathrm{O}$を含む方を$V$とする．

(1)　不定積分${\displaystyle \int }t\sqrt{1-t^2}\mathit{dt}$を求めよ．

(2)　点$\mathrm{E}$は直線$\mathrm{OC}$と$V$の共通部分にあるとする．点$\mathrm{C}$と点$\mathrm{E}$との距離を$s$とし，$t=s-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$とおく．点$\mathrm{E}$において直線$\mathrm{OC}$と垂直に交わる平面$\beta$による$V$の切り口の面積を$t$を用いて表せ．

(3)　$V$の体積を求めよ．