2025　北海道大学　前期MathJax

【１】　$\alpha \text{，}$$r$を$\alpha >1\text{，}$$r>1$を満たす実数とする．数列$\{a_n\}$を$a_1=\alpha$で公比が$r$の等比数列とする．数列$\{b_n\}$を

$b_n={\log }_{a_n}(a_{n+1})$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．

(1)　$b_n$を$n$と${\log }_{\alpha }r$を用いて表せ．

(2)　等式

$b_n={\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}$

がすべての自然数$n$について成り立つための必要十分条件を$r$と$\alpha$を用いて表せ．

(3)　(2)の条件が成り立つとき，積$a_1{a}_2\text{，}$$a_1{a}_2{a}_3\text{，}$$a_1{a}_2{a}_3{a}_4$の整数部分がそれぞれ$2$桁，$3$桁，$4$桁になるような$\alpha$の範囲を求めよ．

【２】　円$C_1\text{：}{x}^2+y^2=1$を考える．実数$p\text{，}$$q$が$p^2+q^2>1$を満たすとき，点$\mathrm{P}(p,q)$から$C_1$に引いた$2$本の接線$l_1\text{，}$$l_2$の接点をそれぞれ${\mathrm{Q}}_1(x_1,y_1)\text{，}$${\mathrm{Q}}_2(x_2,y_2)$とする．また，座標平面上の原点を$\mathrm{O}(0,0)$とする．

(1)　直線$l_1\text{，}$$l_2\text{，}$線分$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_1\text{，}$$\mathrm{O}{\mathrm{Q}}_2$で囲まれた四角形の面積$S$を$p\text{，}$$q$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$が楕円

$C_2\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{3}}=1$

の上を動くとき(1)の四角形の面積$S$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　実数$a$および自然数$n$に対して，定積分

$I(a,n)={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}{e}^{ax}\sin (nx)\mathit{dx}$

を考える．ここで$e$は自然対数の底である．

(1)　$I(a,n)$を求めよ．

(2)　$a_n={\displaystyle \frac{\log n}{2\pi }}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$のとき，極限$\underset{n\to \infty }{\lim }I(a_n,n)$を求めよ．ただし，$\log n$は$n$の自然対数である．また，必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log n}{n}}=0$であることを用いてもよい．

【４】　$a$を正の実数とする．

(1)　$a$が$1$でないとき，複素数$z$についての方程式

$a|z-1|=|(a-2)z+a|$

を考える．この方程式を満たす$z$全体の集合を複素数平面上に図示せよ．

(2)　方程式

${\left|z\right|}^2=6-a\text{，}$$a|z-1|=|(a-2)z+a|$

をともに満たす複素数$z$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

【５】　$n$を$3$以上の整数とする．

(1)　$k$を整数とする．$k<a<b<c\leqq k+n$を満たす整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方の総数を$n$の式で表せ．

(2)　$1\leqq a<b<c\leqq 2n$を満たす整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$のうち，$a+b>c$となる$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の選び方の総数を$L$とする．このとき，$L>{}_{n}C_3$であることを示せ．

【１】　関数$f(x)=x^3-6x^2-15x+30$について考える．$y=f(x)$のグラフを$C$とおく．

(1)　$f(x)$が極大値，極小値をとるような$x$をそれぞれ求め，$f(x)$の極大値，極小値を求めよ．

(2)　$C$上の点$(-3,-6)$を通り，$C$に接する直線の方程式をすべて求めよ．

【２】　整数$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は条件

$2\leqq a<b<c\leqq 6$

を満たすとする．

(1)　不等式$a+b>c$を満たすような$(a,b,c)$をすべて挙げよ．

(2)　不等式$a^2+b^2\geqq c^2$を満たすような$(a,b,c)$をすべて挙げよ．

(3)　(2)で求めた各$(a,b,c)$について，頂点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$と向かい合う辺の長さがそれぞれ$a\text{，}$$b\text{，}$$c$で与えられる$\mathrm{▵ABC}$を考える．このようなすべての$\mathrm{▵ABC}$について$\cos \mathrm{\angle ACB}$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を次の条件により定める．

$a_1=1\text{，}$$a_2=3\text{，}$

$(n+1)a_{n+2}-(2n+3)a_{n+1}$$+(n+2)a_n=0$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくと，

$b_{n+1}={\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つことを示せ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{225}}{\displaystyle \frac{1}{a_n}}$の値を求めよ．

【４】　関数$f(x)$は，すべての実数$x$およびすべての整数$n$について$f(nx)={\{f(x)\}}^n$を満たし，さらに$f(1)=2$を満たすとする．ただし，$f(x)$のとりうる値は$0$でない実数とする．

(1)　$f(n)\leqq 100$となるような最大の整数$n$を求めよ．

(2)　すべての実数$x$について$f(x)>0$であることを証明せよ．

(3)　$f(0.25)$を求めよ．

(4)　$a$が有理数のとき，$f(a)$を$a$で表せ．