2025　大学入学共通テスト　追試験　数学I・数学IA・旧数学I・旧数学IAMathJax

【１】

［１］ 　分数を小数で表すときの仕組みについて考えよう．

　例えば${\displaystyle \frac{2}{13}}$は，計算例１のような割り算を行うと小数で表すことができる．この場合，$1$回目の割り算の余りは$7$で，$2$回目の割り算の余りは$5$である．

　${\displaystyle \frac{2}{13}}$以外の分数の場合も同様に，$1$回目の割り算の余り，$2$回目の割り算の余り，$3$回目の割り算の余り，$\cdots$ということにする．

(1)　${\displaystyle \frac{2}{13}}$を小数で表すと

$0.\stackrel{\cdot }{1}53ab\stackrel{\cdot }{c}$

という循環小数となる．ただし，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は$0$から$9$までの数字とする．このとき

$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}\text{，}$$c=\text{ウ}$

である．

(2)　$m<n$である自然数$m\text{，}$$n$に対し，${\displaystyle \frac{m}{n}}$を計算例１のようにして小数で表すことを考える．$m$を$n$で割ったときの各回の割り算の余りに着目すると，余りに$0$が出てくる場合は，${\displaystyle \frac{m}{n}}$は$\text{エ}$となる．余りに$0$が出てこない場合は$\text{オ}$から，${\displaystyle \frac{m}{n}}$は$\text{カ}$となる．

$\text{エ}\text{，}$$\text{カ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

$\text{オ}$の解答群

(3)　太郎さんと花子さんは．(1)の循環小数$0.\stackrel{\cdot }{1}53ab\stackrel{\cdot }{c}$の小数部分を一つずつずらして得られる循環小数$0.\stackrel{\cdot }{5}3abc\stackrel{\cdot }{1}$について話している．

(ⅰ)　循環小数$0.\stackrel{\cdot }{3}abc1\stackrel{\cdot }{5}$は

$0.\stackrel{\cdot }{3}abc1\stackrel{\cdot }{5}={\displaystyle \frac{7}{13}}\times 10-\text{キ}$$={\displaystyle \frac{70-13\times \text{キ}}{13}}$

であるが，この分子の引き算$70-13\times \text{キ}$は，計算例１の$2$回目の割り算の余りを求めるときの引き算と同じである．

(ⅱ)　次の四つの循環小数

$0.\stackrel{\cdot }{3}abc1\stackrel{\cdot }{5}\text{，}$$0.\stackrel{\cdot }{a}bc15\stackrel{\cdot }{3}\text{，}$$0.\stackrel{\cdot }{b}c153\stackrel{\cdot }{a}\text{，}$$0.\stackrel{\cdot }{c}153a\stackrel{\cdot }{b}$

をそれ以上約分できない分数で表したとき，その分子を小さい順に並べると

$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}\text{，}$$\text{コ}\text{，}$$\text{サシ}$

である．

【１】

［２］　　以下の問題を解答するにあたっては，必要に応じて三角比の表と，平方根の表を用いてもよい．

　水平な地面の上空を飛行機$\mathrm{P}$が飛んでおり，太郎さんはその地面上の点$\mathrm{O}$から飛行機$\mathrm{P}$を見ている．以下では，目の高さと飛行機$\mathrm{P}$の大きさは無視して考える．飛行機$\mathrm{P}$から地面に下ろした垂線と地面との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{\angle POQ}$を飛行機$\mathrm{P}$を見上げる角といい，線分$\mathrm{PQ}$の長さを飛行機$\mathrm{P}$の高さという．飛行機$\mathrm{P}$は，高さと速さを一定に保ちながらまっすぐに飛んでいるものとする．

　ある時刻に，飛行機$\mathrm{P}$を見上げる角が$45\mathrm{°}$であったとし，そのときの飛行機$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{A}$から地面に下ろした垂線と地面との交点を$\mathrm{B}$とする．またその$140$秒後に，飛行機$\mathrm{P}$を見上げる角が$30\mathrm{°}$であったとし，そのときの飛行機$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{C}\text{，}$点$\mathrm{C}$から地面に下ろした垂線と地面との交点を$\mathrm{D}$とする．さらに，$\mathrm{\angle BOD}=150\mathrm{°}$であったとする．

　飛行機$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{C}$まで線分$\mathrm{AC}$上を飛ぶ間における，飛行機$\mathrm{P}$を見上げる角$\mathrm{\angle POQ}$の大きさについて考察しよう．

(1)　飛行機$\mathrm{P}$の高さを$h$とする．

(ⅰ)　$\mathrm{\angle POQ}$は

$\tan \mathrm{\angle POQ}=\text{ス}$

を満たす．また，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=h$より

$\mathrm{OB}=h\text{，}$$\mathrm{OD}=\sqrt{\text{セ}}h\text{，}$$\mathrm{BD}=\sqrt{\text{ソ}}h$

および

$\cos \mathrm{\angle OBD}={\displaystyle \frac{\text{タ}\sqrt{\text{チ}}}{\text{ツテ}}}$

である．

$\text{ス}$の解答群

(ⅱ)　飛行機$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$を通過してから$70$秒後の位置にあるとき

$\mathrm{OQ}={\displaystyle \frac{h}{\text{ト}}}$

である．また，このときの$\mathrm{\angle POQ}$の大きさは$\text{ナ}$である．

$\text{ナ}$の解答群

(2)　太郎さんは，飛行機$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$を通過してから何秒後に$\mathrm{\angle POQ}$の大きさが最大になるかを，$\mathrm{\angle POQ}$の大きさと線分$\mathrm{OQ}$の長さの関係に着目して考えている．

　$\mathrm{\angle POQ}$の大きさが最大になるのは，点$\mathrm{Q}$が$\text{ニ}$のときであり，飛行機$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$を通過してから$\text{ヌネ}$秒後である．また，このときの$\mathrm{\angle POQ}$の大きさは$\text{ノ}$である．

$\text{ニ}$の解答群

$\text{ノ}$の解答群

【２】

［１］　花子さんと太郎さんは，コンピュータを使って，関数$y=a{x}^2+bx+c$のグラフを表示させている．

(1)　花子さんが$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を$a=2\text{，}$$b=-7\text{，}$$c=7$と定めると，グラフとして放物線が表示された．この放物線の頂点の座標は

$({\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}},{\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}})$

である．

(2)　花子さんと太郎さんは，$a=2\text{，}$$b=-7\text{，}$$c=7$と定めたとき，関数$y=2x^2-7x+7$のグラフが，点$\mathrm{P}(1,2)$と点$\mathrm{Q}(3,4)$を通ることに気づいて，コンピュータの画面を見ながら，次のように話している．

　$0$でない実数$a$に対して

$b=\text{オ}-\text{カ}a$

$c=\text{キ}+\text{ク}a$

とすれば，関数

$y=a{x}^2$$+(\text{オ}-\text{カ}a)x$$+\text{キ}+\text{ク}a$$\cdots \text{①}$

のグラフは$2$点$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る．

(3)　太郎さんと花子さんは，$a$の値を$0$より大きい範囲で変えながら，関数$\text{①}$のグラフを表示させて，頂点の$y$座標について考えている．

　グラフの頂点の$y$座標の最大値は$\text{ケ}$であり，頂点の$y$座標が最大になる$a$の値は${\displaystyle \frac{\text{コ}}{\text{サ}}}$である．

(4)　次に，花子さんと太郎さんは，$a$の値を$0$より小さい範囲で変えながら，関数$\text{①}$のグラフを表示させている．このとき，次の(A)，(B)，(C)のうちで，起こり得るものは$\text{シ}\text{．}$

(A)　関数のグラフが点$(0,3)$を通る．

(B)　関数のグラフと$x$軸の負の部分が交わる．

(C)　関数のグラフの頂点の$x$座標が$2$以下である．

$\text{シ}$の解答群

【２】

［２］　太郎さんと花子さんは，令和$4$年度の全国体力・運動能力，運動習慣等調査$\text{（}47$都道府県ごと）の結果を用いて，小学校第$5$学年の男子児童と中学校第$2$学年の男子生徒について，「運動（体を動かす遊びを含む）やスポーツをすることは好きですかという質問に対して，好きと回答した児童生徒の割合」（以下，スポーツ好き）と「反復横とびの点数の平均値」（以下，反復横とび）の関係を調べることにした．

　なお，図については，スポーツ庁のWebページをもとに作成している．

(1)　太郎さんは，スポーツ好きと反復横とびについて，小学校第$5$学年と中学校第$2$学年を合わせて図１のような散布図を作成した．

　太郎さんと花子さんは，図１について話している．

　図１におけるスポーツ好きと反復横とびの相関係数は$-0.85$であった．図１の点全体の散らばりの様子から，小学校第$5$学年と中学校第$2$学年を合わせた全体について，スポーツ好きと反復横とびの間に負の相関があるとしたとき，次のことがいえる．

　小学校第$5$学年と中学校第$2$学年を合わせた全体について，スポーツ好きが増えると，反復横とびは$\text{ス}\text{．}$

$\text{ス}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{2}}$のうちから一つ選べ．

(2)　太郎さんと花子さんは，(1)を振り返りながら話している．

　図２は小学校第$5$学年について，図３は中学校第$2$学年について，スポーツ好きと反復横とびの散布図を作成したものである．

　図２におけるスポーツ好きと反復横とびの相関係数は$0.07$であった．図３におけるスポーツ好きと反復横とびの相関係数はおよそ$\text{セ}$である．

$\text{セ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{4}}$のうちから一つ選べ．

(3)　太郎さんと花子さんは，散布図においていくつかの集団があるときの全体の相関係数について関心をもち，簡単な例で考えることにした．

　変量$x\text{，}$$y$の値の組

$(-1,1)\text{，}$$(1,-1)$

を考える．このとき，相関係数は$-1$となる．

　この二つの値の組に$(-2,0)\text{，}$$(0,-2)$と$(0,2)\text{，}$$(2,0)$を加えた，合計六つの値の組を，データ$W$と呼ぶことにする．また，データ$W$の$x\text{，}$$y$の平均値をそれぞれ$\bar{x}\text{，}$$\bar{y}\text{，}$分散をそれぞれ${s_x}^2\text{，}$${s_y}^2\text{，}$共分散を$s_{xy}$とする．

　データ$W$の$x$と$y$の相関係数を$r_{xy}$とし，この$r_{xy}$について考えよう．なお，必要に応じて，右に示す表１の計算表を用いて考えてもよい．

(ⅰ)　$\bar{x}=\text{ソ}\text{，}$${s_x}^2=\text{タ}\text{，}$$s_{xy}=\text{チ}$である．

$\text{ソ}$の解答群

$\text{タ}$の解答群

$\text{チ}$の解答群

(ⅱ)　${s_x}^2={s_y}^2$であることに着目すると，$r_{xy}=\text{ツ}$となることがわかる．

$\text{ツ}$の解答群

(4)　$a$を正の数とする．変量$x\text{，}$$y$の二つの値の組$(-1,1)\text{，}$$(1,-1)$に

$(-1-a,1-a)\text{，}$$(1-a,-1-a)\text{，}$

$(-1+a,1+a)\text{，}$$(1+a,-1+a)$

を加えた，合計六つの値の組を，データ$W^{\prime }$と呼ぶことにする．

　相関係数が正であるための必要十分条件は，共分散が正であることである．したがって，データ$W^{\prime }$の$x$と$y$の相関係数が正であるための必要十分条件は

$a>{\displaystyle \frac{\sqrt{\text{テ}}}{\text{ト}}}$

である．

【３】　$\mathrm{▵OAB}$の内心を$\mathrm{I}$とし，$\mathrm{▵OAB}$の内接円と辺$\mathrm{AB}$との接点を$\mathrm{L}$とする．また，$\mathrm{▵OAB}$の内接円と辺$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$との接点を，それぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．さらに，$\mathrm{\angle AOB}=2\theta \text{，}$$\mathrm{\angle OAB}=2\alpha \text{，}$$\mathrm{\angle OBA}=2\beta$とおく．

(1)　点$\mathrm{I}$が$\mathrm{▵OAB}$の内心であることから，$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{L}\text{，}$$\text{ア}$は同一円周上にあることがわかる．

$\text{ア}$の解答群

(2)　辺$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BI}$との交点を$\mathrm{X}$とする．このとき，辺$\mathrm{OA}$上における$2$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{X}$の位置関係について考えよう．そのために，$\mathrm{\angle OMI}$と$\mathrm{\angle OXI}$の大小関係を調べる．まず

$\mathrm{\angle OMI}=\text{イウ}\mathrm{°}$

である．また，$\mathrm{▵OBX}$に着目し，$\theta +\alpha +\beta =90\mathrm{°}$であることに注意して，$\mathrm{\angle OXI}$を$\beta$を用いずに表すと

$\mathrm{\angle OXI}=\text{イウ}\mathrm{°}+\text{エ}-\text{オ}$

となる．

　このことから，$\text{エ}<\text{オ}$のとき点$\mathrm{X}$は$\text{カ}$ことがわかり，$\text{エ}>\text{オ}$のとき点$\mathrm{X}$は$\text{キ}$ことがわかる．

$\text{エ}\text{，}$$\text{オ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

$\text{カ}\text{，}$$\text{キ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(3)　直線$\mathrm{MN}$と$\mathrm{BI}$との交点を$\mathrm{P}$とする．

・$\text{エ}<\text{オ}$とする．このとき直線$\mathrm{MN}$上での$3$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$の位置関係に注意すると，$\mathrm{\angle ONP}=\text{ク}\text{，}$$\mathrm{\angle OBP}=\text{ケ}$となるので$\mathrm{\angle MPI}=\text{コ}$となる．したがって，$4$点$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\text{サ}$は同一円周上にある．

・$\text{エ}>\text{オ}$とする．このとき$\mathrm{\angle MPI}=\text{シ}$となる．したがって，$4$点$\mathrm{I}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\text{サ}$は$\text{ス}\text{．}$

$\text{ク}\text{〜}\text{コ}\text{，}$$\text{シ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

$\text{サ}$の解答群

$\text{ス}$の解答群

(4)　直線$\mathrm{MN}$と$\mathrm{BI}\text{，}$$\mathrm{AI}$との交点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．

　$\theta =32\mathrm{°}\text{，}$$\alpha =34\mathrm{°}$のとき，$4$点$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{MN}$上に$\text{セ}$の順に並ぶ．

$\text{セ}$については，最も適当なものを，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうちから一つ選べ．

【４】　箱の中に$1$から$6$までの自然数が一つずつ書かれた$6$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる自然数が書かれている．

　次の試行Aと試行Bを考える．

　カードを$2$枚取り出す方法は，試行Aを$1$回行うことと，試行Bを$2$回行うことの二つあり，この二つの場合について，花子さんと太郎さんは話をしている．

(1)　花子さんと太郎さんが別々に，試行Aを$1$回ずつ行う場合を考える．

(ⅰ)　花子さんが試行Aを$1$回行う場合，$2$枚のカードの取り出し方は$\text{アイ}$通りある．

(ⅱ)　花子さんが取り出した$2$枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合を$E$とし，太郎さんが取り出した$2$枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合を$F$とする．

　例えば，花子さんが取り出した$2$枚のカードに書かれた自然数が$5$と$6$であるとき，$E=\{5,6\}$である．

　以下，集合$E\cap F$の要素がないという事象を$A_0$とし，集合$E\cap F$の要素の個数が$1$個，$2$個であるという事象をそれぞれ$A_1\text{，}$$A_2$とする．

　事象$A_2$が起こる確率$P(A_2)$は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エオ}}}$である．また，事象$A_0$が起こる確率$P(A_0)$は${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}}}$である．

(2)　花子さんと太郎さんが別々に，試行Bを$2$回ずつ行う場合を考える．

　花子さんが取り出した$2$枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合を$G$とし，太郎さんが取り出した$2$枚のカードに書かれた自然数だけを要素にもつ集合を$H$とする．

　例えば，花子さんが取り出した$2$枚のカードに書かれた自然数がどちらも$6$であるとき，$G=\{6\}$である．

　以下，集合$G\cap H$の要素がないという事象を$B_0$とし，集合$G\cap H$の要素の個数が$1$個，$2$個であるという事象をそれぞれ$B_1\text{，}$$B_2$とする．

(ⅰ)　事象$B_2$が起こる確率$P(B_2)$は${\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケコサ}}}$である．

(ⅱ)　花子さんと太郎さんは，事象$B_0$が起こる確率$P(B_0)$の求め方について考えている．

　花子さんが$2$回とも同じ自然数が書かれたカードを取り出し，かつ事象$B_0$が起こる確率は${\displaystyle \frac{\text{シス}}{\text{セソタ}}}$である．また，確率$P(B_0)$は${\displaystyle \frac{\text{チツ}}{\text{テト}}}$である．

(3)　(1)で定めた事象$A_0\text{，}$$A_1\text{，}$$A_2$が起こる確率$P(A_0)\text{，}$$P(A_1)\text{，}$$P(A_2)$のうち，最大のものは$\text{ナ}$である．

　また，(2)で定めた事象$B_0\text{，}$$B_1\text{，}$$B_2$が起こる確率$P(B_0)\text{，}$$P(B_1)\text{，}$$P(B_2)$のうち，最大のものは$\text{ニ}$である．

$\text{ナ}$の解答群

$\text{ニ}$の解答群

【１】

［２］　自然数$n$に関する条件$p\text{，}$$q$を

$p$：$n$は$12$の約数である

$q$：$n$は$18$の約数である

とする．

(1)　条件$p\text{，}$$q$を用いて表された命題について，次のことが成り立つ．

　次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{7}}$のうち，$n=9$が反例となるのは$\text{ス}$と$\text{セ}$である．

$\text{ス}\text{，}$$\text{セ}$の解答群（解答の順序は問わない．）

(2)　自然数$n$に関する条件$r$を

$r$：$n$は$6$の約数である

とする．このとき，次のことが成り立つ．

・$r$は，$q$であるための$\text{ソ}\text{．}$

・$(p\text{かつ}q)$は，$r$であるための$\text{タ}\text{．}$

$\text{ソ}\text{，}$$\text{タ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(3)　$a$を自然数とする．自然数$n$に関する条件$s$を

$s$：$n$は$a$の倍数である

とする．このとき

命題$\mathrm{A}$：$\text{「}p⟹(q\text{または}s)\text{」}$

が真となる$a$の値のうち，最大のものは$\text{チ}$である．

　また，$a=\text{チ}$のとき，命題$\mathrm{A}$の逆は偽であり，命題$\mathrm{A}$の逆に対する反例となる$n$の値のうち，最小のものは$\text{ツ}$である．

【２】

［１］　$\mathrm{▵OAB}$の辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{▵OAP}\text{，}$$\mathrm{▵OPB}\text{，}$$\mathrm{▵OAB}$の外接円の半径を，それぞれ$R_1\text{，}$$R_2\text{，}$$R_3$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{R_1}{R_3}}$と${\displaystyle \frac{R_2}{R_1}}$を，線分の長さの比を用いて表そう．

$R_1={\displaystyle \frac{\text{ア}}{2\sin \mathrm{\angle OAB}}}$

$R_3={\displaystyle \frac{\text{イ}}{2\sin \mathrm{\angle OAB}}}$

である．したがって

${\displaystyle \frac{R_1}{R_3}}={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$

が成り立つ．

　${\displaystyle \frac{R_2}{R_3}}$についても同様に考えることにより，${\displaystyle \frac{R_2}{R_1}}$は

${\displaystyle \frac{R_2}{R_1}}={\displaystyle \frac{R_3}{R_1}}\cdot {\displaystyle \frac{R_2}{R_3}}$$={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$

を満たすことがわかる．

$\text{ア}\text{〜}$$\text{エ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)　$\mathrm{OA}=3\text{，}$$\mathrm{OB}=4\text{，}$$\mathrm{AB}=5$とする．$R_1\text{，}$$R_2\text{，}$$R_3$の間の大小関係について考えよう．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が$\mathrm{OP}=\mathrm{OA}$を満たすとき

$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}}$

である．

(ⅱ)　$a={\displaystyle \frac{\text{オカ}}{\text{キ}}}$とする．

　$R_1\text{，}$$R_2\text{，}$$R_3$の間の大小関係について，点$\mathrm{P}$が$0<\mathrm{AP}<a$を満たすとき$\text{ク}$である．また，点$\mathrm{P}$が$a<\mathrm{AP}<5$を満たすとき$\text{ケ}$である．

$\text{ク}\text{，}$$\text{ケ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【３】

［１］　$f(x)=x^2-4x$とする．

(1)

(ⅰ)　$2$次不等式$f(x)\leqq -1$の解は

$\text{ア}-\sqrt{\text{イ}}\leqq x\leqq \text{ア}+\sqrt{\text{イ}}$

である．

(ⅱ)　$2$次関数$y=f(x)$のグラフの軸は直線$x=\text{ウ}$である．また，$y=f(x)$の最小値は$\text{エオ}$である．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq 3$における$y=f(x)$の最大値は$\text{カ}$である．

(2)　$s$を正の定数とする．(1)の$\text{エオ}$が，$0\leqq x\leqq s$における$y=f(x)$の最小値となるための必要十分条件は$s\geqq \text{キ}$である．

　$0<s<\text{キ}$のとき，$0\leqq x\leqq s$における$y=f(x)$の最小値は$\text{ク}$である．

$\text{ク}$の解答群

(3)　$k$を正の定数とし

$g(x)=x^2-4kx$

とする．$2$次関数$y=g(x)$のグラフの頂点の座標を$(p,q)$とする．

　$s$を正の定数とする．太郎さんと花子さんは，$0\leqq x\leqq s$における$y=g(x)$の最小値について考えている．

(ⅰ)　$0\leqq x\leqq s$における$y=g(x)$の最小値が$q$であるための必要十分条件として，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{8}}$のうち，正しいものは$\text{ケ}$である．

$\text{ケ}$の解答群

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq s$における$y=g(x)$の最小値に関して，次の命題(a)，(b)の真偽の組合せとして正しいものは$\text{コ}$である．

(a)　$k>1$かつ$s=k+1$ならば，最小値は$q$である．

(b)　$k>1$かつ$s=3k-1$ならば，最小値は$q$である．

$\text{コ}$の解答群

【４】

［２］　データの値が$a_1\text{，}$$a_2$であるものをデータ$A\text{，}$データの値が$b_1\text{，}$$b_2$であるものをデータ$B$とし，これらを合わせた四つのデータの値

$a_1\text{，}$$a_2\text{，}$$b_1\text{，}$$b_2$

をそれぞれ

$z_1\text{，}$$z_2\text{，}$$z_3\text{，}$$z_4$

とおき，これをデータ$Z$と呼ぶことにする．データ$A\text{，}$$B\text{，}$$Z$の分散をそれぞ${s_A}^2\text{，}$${s_B}^2\text{，}$${s_Z}^2$とするとき，それらの関係について考えよう．

　データ$A\text{，}$$B\text{，}$$Z$の平均値をそれぞれ$\bar{a}\text{，}$$\bar{b}\text{，}$$\bar{z}$とし，$k=\bar{a}-\bar{z}$とおく．以下では，$k\ne 0$の場合を考える．このとき，$P\text{，}$$Q$を

$P={(z_1-\bar{z})}^2+{(z_2-\bar{z})}^2$

$Q={(z_3-\bar{z})}^2+{(z_4-\bar{z})}^2$

とおくと

であり

${s_A}^2={\displaystyle \frac{P-\text{ケ}{k}^2}{2}}$

となることがわかる．同様にして

${s_B}^2={\displaystyle \frac{Q-\text{ケ}{k}^2}{2}}$

となることもわかる．

　これらのことと$k\ne 0$に着目すると，${s_A}^2\text{，}$${s_B}^2\text{，}$${s_Z}^2$の関係として，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{3}}$のうち，正しいものは$\text{コ}$であることがわかる．

$\text{コ}$の解答群

【１】

［１］　$a$を定数とし，連立不等式

$\{\begin{array}{l}x+\sqrt{3}a+1\geqq 3x\\ x+a\geqq 1\end{array}$

を考える．なお，$\sqrt{3}=1.732\cdots$である．この連立不等式を満たす実数$x$全体の集合を$A$とする．

(1)　$a=2$のとき，次のことが成り立つ．

・$3$は$A$の$\text{ア}\text{．}$

・$2$は$A$の$\text{イ}\text{．}$

$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

(2)

(ⅰ)　集合$A$の要素がただ一つとなるのは

$a=\text{ウ}-\sqrt{3}$

のときである．このとき，$A=\{\sqrt{3}-\text{エ}\}$である．

(ⅱ)　$a>\text{ウ}-\sqrt{3}$のとき，$A=\{x|\text{オ}\}$である．

　また，整数全体の集合を$B$とおいたとき，$A\cap B=\{1\}$となるような$a$の値の範囲を，不等号を用いて表すと

${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\text{カ}}}\text{キ}a\text{ク}\text{ケ}$

となる．

$\text{オ}$の解答群

$\text{キ}\text{，}$$\text{ク}$の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

【４】　ある公園には，$1$周$609\mathrm{m}$のコース$\mathrm{A}\text{，}$$1$周$348\mathrm{m}$のコース$\mathrm{B}\text{，}$$1$周$100\mathrm{m}$のコース$\mathrm{C}$の三つのランニングコースがある．三つのコースは一方通行になっていて，地点$\mathrm{P}$のみでつながっている．

　太郎さんのお兄さんは，これらのコースを使い，次の規則に従って走る練習をする．

　太郎さんと花子さんは，お兄さんが$42195\mathrm{m}$と$10000\mathrm{m}$を走るために，それぞれのコースを何周走ればよいかという練習計画を立てている．

(1)　太郎さんは，コース$\mathrm{A}$とコース$\mathrm{B}$だけを使って$42195\mathrm{m}$を走る練習計画のうち，それぞれのコースを$10$周以上走るものが全部で何通りあるかを考えている．

　コース$\mathrm{A}$を$a$周，コース$\mathrm{B}$を$b$周走るとすると，$x=a\text{，}$$y=b$は不定方程式

$609x+348y=42195$$\cdots \text{①}$

の整数解である．ユークリッドの互除法を用いると，$609$と$348$の最大公約数は$\text{アイ}$であることがわかる．$\text{①}$の両辺を$\text{アイ}$で割ると

$\text{ウ}x+\text{エ}y=\text{オカキ}$$\cdots \text{②}$

を得る．ここで，$\text{②}$を解くために不定方程式

$\text{ウ}X+\text{エ}Y=1$$\cdots \text{③}$

を考えると，$\text{③}$の整数解のうち，$X$が正の整数で最小になるのは

$X=\text{ク}\text{，}$$Y=\text{ケコ}$

である．

　このことを用いると，$\text{②}$の整数解のうち，$x$が正の整数で最小になるのは

$x=\text{サ}\text{，}$$y=\text{シスセ}$

である．また，$\text{②}$のすべての整数解は，$k$を整数として

$x=\text{サ}+\text{ソ}k\text{，}$$y=\text{シスセ}-\text{タ}k$

と表される．

　以上の考察から，コース$\mathrm{A}$とコース$\mathrm{B}$だけを使って$42195\mathrm{m}$を走る練習計画のうち，それぞれのコースを$10$周以上走るものは全部で$\text{チツ}$通りであることがわかる．

(2)　花子さんは，コース$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$を使って$10000\mathrm{m}$を走る練習計画のうち，コース$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をそれぞれ$5$周以上走る練習計画を立てている．

　$R$を整数として，(1)と同様に$x\text{，}$$y$についての不定方程式

$609x+348y=R$$\cdots \text{④}$

を考える．$R=42195$のときには$\text{②}$や$\text{③}$の式を使って整数解を求めた．同じように考えると，$R$が$\text{アイ}$の倍数で$\text{テ}$とき，$\text{④}$の不定方程式を満たす整数$x\text{，}$$y$を求めることができる．

　このことから，コース$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をそれぞれ$5$周以上走って$10000\mathrm{m}$を走る練習計画では，コース$\mathrm{C}$を$\text{トナ}$周走ることが最初にわかる．次に，コース$\mathrm{A}$を$\text{ニ}$周，コース$\mathrm{B}$を$\text{ヌネ}$周走ることがわかる．

$\text{テ}$の解答群