2025 大学入学共通テスト 本試験 数学I・数学IA・旧数学I・旧数学IAMathJax

易□　並□　難□

【１】

図１

［２］　図１のように，直線 $l$ 上の点 $A$ において $l$ に接する半径 $2$ の円を円 $O$ とし， $l$ 上の点 $B$ において $l$ に接する半径 $4$ の円を円 $O^{'}$ とする．円 $O$ と $O^{'}$ は $2$ 点で交わるとし，その交点を $P ，$ $Q$ とする．ただし， $∠APB < ∠AQB$ とする．さらに， $∠PAB$ は鋭角であるとする．このとき， $▵PAB$ と $▵QAB$ について考えよう．

(1)　 $∠PAB = α ，$ $∠PBA = β$ とおく．

　円 $O$ の中心 $O$ から直線 $PA$ に引いた垂線と直線 $PA$ との交点を $H$ とする． $∠OAB = 90 °$ であるから， $∠AOH = α$ である．よって， $▵OAH$ に着目すると， $AH = コ \sin α$ であるから

$PA = 2 AH = サ \sin α$ $\dots ①$

である．

　同様にして，円 $O^{'}$ の中心 $O^{'}$ から直線 $PB$ に引いた垂線と直線 $PB$ との交点を $H^{'}$ とすると

$PB = 2 B H^{'} = シ \sin β$ $\dots ②$

であることもわかる．

　また， $▵PAB$ の外接円の半径を $R_{1}$ とおくと，正弦定理により

$\frac{PA}{\sin ス} = \frac{PB}{\sin セ} = 2 R_{1}$

が成り立つので

$PA \sin セ = PB \sin ス$

である．この式に， $①$ と $②$ を代入することにより

$\sin セ = \sqrt{ソ} \sin ス$

$PB = \sqrt{ソ} PA$

となることがわかる．さらに

$R_{1} = タ \sqrt{チ}$

が得られる．

$ス，$ $セ$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．)

$0$ 　 $α$ $1$ 　 $β$

(2)　太郎さんと花子さんは，(1)の考察を振り返っている．

太郎： $▵QAB$ の外接円の半径も求められるかな．

花子：(1)の $R_{1}$ の求め方を参考にすればよさそうだね．

図１（再掲）

　 $▵PAB ，$ $▵QAB$ の外接円の半径をそれぞれ $R_{1} ，$ $R_{2}$ とおく．このとき， $R_{1} ツ R_{2}$ である．さらに， $\sin ∠APB テ \sin ∠AQB$ であることもわかる．

$ツ，$ $テ$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．)

$0$ 　 $<$ $1$ 　 $=$ $2$ 　 $>$

(3)　太郎さんと花子さんは，これまでの考察をもとに， $▵PAB$ と $▵QAB$ の辺の長さについて考えている．

太郎： $AB$ の長さが与えられれば， $PA$ と $QA$ の長さが求められそうだね．

花子： $∠APB < ∠AQB$ に注意して求めてみようよ．

　 $AB = 2 \sqrt{7}$ とする．このとき

$\sin ∠APB = \frac{\sqrt{トナ}}{ニ}$

である．(1)より， $PB = \sqrt{ソ} PA$ であるから

$PA = \sqrt{ヌネ}$

である．

　同様に， $QA = \sqrt{7}$ であることがわかる．

2025-10000-0103

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2025　大学入学共通テスト　本試験

数学IA,数学I,旧数学IA,旧数学I共通

数学I,旧数学Iは【３】［２］で，セからフまで

配点15点

易□　並□　難□

【２】

［１］　花子さんと太郎さんは，公園にある二つの小さな噴水と一つの大きな噴水の高さについて話している．

花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう．

太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね．噴水の水がえがく曲線は，放物線になると聞いたことがあるよ．

花子：じゃあ，放物線と仮定して，およその高さを考えてみよう．

参考図

《編注》略す

　花子さんと太郎さんは，噴水の高さについて次のように考えることにした．

図１

　噴水の水がえがく曲線は三つとも放物線とする．三つの噴水の水が出る位置は水平な地面にある．図１のように座標軸が定められた平面上に，三つの噴水を正面から見た図をかく．左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の仮定１を，中央の大きな噴水の水がえがく放物線については後の仮定２を設定する．図１の $P_{1} ，$ $P_{2} ，$ $P_{3}$ は噴水の水が出る位置である．なお，長さの単位はメートルであるが，以下では省略する．

仮定１

・左側の小さな噴水の水がえがく放物線 $C_{1}$ は， $x$ 軸上の点 $P_{1} (- \frac{5}{2}, 0)$ から出て点 $(\frac{1}{2}, 0)$ に至る．

・右側の小さな噴水の水がえがく放物線 $C_{3}$ は， $x$ 軸上の点 $P_{3} (\frac{5}{2}, 0)$ から出て点 $(- \frac{1}{2}, 0)$ に至る．

・ $C_{1}$ と $C_{3}$ はともに点 $(0, 1)$ を通る．

仮定２

　中央の大きな噴水の水がえがく放物線 $C_{2}$ は， $x$ 軸上の点 $P_{2} (\frac{3}{2}, 0)$ から出て $C_{3}$ の頂点と $C_{1}$ の頂点を通る．

図１（再掲）

(1)　仮定１と仮定２のもとで考える． $C_{1}$ をグラフにもつ $2$ 次関数を $y = a x^{2} + b x + c$ とする．このとき $c = ア$ であり，また

$y = - \frac{イ}{ウ} x^{2}$ $- \frac{エ}{オ} x$ $+ ア$

である．

　 $C_{1}$ の頂点の $y$ 座標は $\frac{カ}{キ}$ である．このことを用いると， $C_{2}$ の頂点の $y$ 座標は $\frac{クケ}{コサ}$ であることがわかる．

　したがって，大きな噴水の高さは，小さな噴水の高さの $シ$ である．

　 $シ$ については，最も適当なものを，次の $0 〜$ $3$ のうちから一つ選べ．

$0$ 　およそ $2$ 倍　　 $1$ 　およそ $3$ 倍

$2$ 　およそ $4$ 倍　　 $3$ 　およそ $5$ 倍

(2)　花子さんと太郎さんは，大きな噴水の高さについて話している．

花子：正面から見たとき，大きな噴水が小さな噴水の頂点を通って見えるというデザインは変えずに，大きな噴水の高さを変えることはできるのかな．

太郎：左右の二つの小さな噴水は変えずに，大きな噴水の水が出る位置を変えてみたらどうかな．

花子：大きな噴水の高さが $5$ メートルになるときの水が出る位置を考えてみよう．

　仮定２の代わりに次の仮定２′をおく．

仮定２′

・中央の大きな噴水の水がえがく放物線 ${C_{2}}^{'}$ は， $x$ 軸の正の部分の点 ${P_{2}}^{'}$ から出て $C_{3}$ の頂点と $C_{1}$ の頂点を通る．

・ ${C_{2}}^{'}$ の頂点の $y$ 座標は $5$ である．

　仮定１と仮定２′のもとで考える．このとき， ${P_{2}}^{'}$ は $P_{2}$ より $\frac{ス}{セ}$ だけ $ソ$ の方にある．

$ソ$ の解答群

$0$ 　 $P_{1}$ $1$ 　 $P_{3}$

2025-10000-0104

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2025　大学入学共通テスト　本試験

数学IA

数学I【４】の類題

配点15点

易□　並□　難□

【２】

［２］　以下の問題を解答するにあたっては，与えられたデータに対して，次の値を外れ値とする．

$「 (第 1 四分位数)$ $- 1.5 \times (四分位範囲) 」$ 以下の値

$「 (第 3 四分位数)$ $+ 1.5 \times (四分位範囲) 」$ 以上の値

　太郎さんは， $47$ 都道府県における外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の動向を調べるため，それらに関するデータを分析することにした．外国人宿泊者数を，日本国内に住所を有しない宿泊者の人数の $1$ 年間の合計とし，日本人宿泊者数を，日本国内に住所を有する宿泊者の人数の $1$ 年間の合計とする．宿泊者数に関するデータは千の位を四捨五入し， $1$ 万人単位で表したものとし，以下においては単位（万人）を省略して用いることとする．例えば， $「 4567890$ 人」は $「 457 」$ とする．

　なお，以下の図や表については，国土交通省のWebページをもとに作成している．

(1)

図１　令和 $4$ 年の外国人宿泊者数

と日本人宿泊者数の散布図

(ⅰ)　図１は， $47$ 都道府県における令和 $4$ 年の外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の散布図である．なお，散布図には原点を通り，傾きが $10$ の直線（破線）を付加している．また，日本人宿泊者数が $1000$ を超える都道府県の数は $12$ である．

　次の(a)，(b)は，図１に関する記述である．

(a)　令和 $4$ 年について，外国人宿泊者数が $100$ を超え，かつ日本人宿泊者数が $2500$ を超える都道府県の数は $2$ である．

(b)　令和 $4$ 年について，日本人宿泊者数が外国人宿泊者数の $10$ 倍未満である都道府県の割合は $50 %$ 未満である．

　(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものは $タ$ である．

$タ$ の解答群

	$0$	$1$	$2$	$3$
(a)	正	正	誤	誤
(b)	正	誤	正	誤

(ⅱ)　 $47$ 都道府県における令和 $4$ 年の外国人宿泊者数を分析した結果，外れ値となる都道府県の数は $8$ であった．

　一方，表１は $47$ 都道府県における令和 $4$ 年の日本人宿泊者数を，値の小さい順に並べ，その順に都道府県 $P 1 ，$ $P 2 ，$ $\dots ，$ $P 47$ としたものである．この中で，外国人宿泊者数で外れ値となる都道府県 $（ P 37 ，$ $P 40 ，$ $P 42 ，$ $P 43 ，$ $P 44 ，$ $P 45 ，$ $P 46 ，$ $P 47 ）$ に印*を付けている．

表１　 $47$ 都道府県における令和 $4$ 年の日本人宿泊者数

都道府県	日本人宿泊者数	都道府県	日本人宿泊者数	都道府県	日本人宿泊者数	都道府県	日本人宿泊者数
$P 1$	$182$	$P 13$	$373$	$P 25$	$620$	$P 37$ *	$1339$
$P 2$	$187$	$P 14$	$388$	$P 26$	$625$	$P 38$	$1399$
$P 3$	$197$	$P 15$	$395$	$P 27$	$646$	$P 39$	$1547$
$P 4$	$204$	$P 16$	$401$	$P 28$	$670$	$P 40$ *	$1765$
$P 5$	$255$	$P 17$	$405$	$P 29$	$683$	$P 41$	$1814$
$P 6$	$270$	$P 18$	$452$	$P 30$	$705$	$P 42$ *	$1970$
$P 7$	$276$	$P 19$	$458$	$P 31$	$831$	$P 43$ *	$2158$
$P 8$	$286$	$P 20$	$501$	$P 32$	$832$	$P 44$ *	$2195$
$P 9$	$303$	$P 21$	$522$	$P 33$	$839$	$P 45$ *	$2831$
$P 10$	$321$	$P 22$	$537$	$P 34$	$876$	$P 46$ *	$2839$
$P 11$	$328$	$P 23$	$605$	$P 35$	$925$	$P 47$ *	$5226$
$P 12$	$351$	$P 24$	$613$	$P 36$	$1251$

　表１のデータにおいて，四分位範囲は $チ$ となることから，令和 $4$ 年の外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の両方で外れ値となる都道府県の数は $ツ$ である．

$チ$ の解答群

$0 320$ $1 450$ $2 597$ $3 638$ $4 900$

$5 966$ $6 1253$ $7 1261$ $8 1602$ $9 1864$

(2)　 $47$ 都道府県におけるある年の外国人宿泊者数を $x ，$ 日本人宿泊者数を $y$ とし， $x$ と $y$ の値の組を，それぞれ

$(x_{1}, y_{1}) ，$ $(x_{2}, y_{2}) ，$ $\dots ，$ $(x_{47}, y_{47})$

と表す． $x ，$ $y$ の平均値をそれぞれ $\overline{x} ，$ $\overline{y}$ とし， $x ，$ $y$ の分散をそれぞれ ${s_{x}}^{2} ，$ ${s_{y}}^{2}$ とする．また， $x$ と $y$ の共分散を $s_{x, y}$ とする．

　 $47$ 都道府県それぞれにおける外国人宿泊者数と日本人宿泊者数を足し合わせた合計宿泊者数を $z$ とし，その値を

$z_{i} = x_{i} + y_{i}$ $（ i = 1 ， 2 ， \dots ， 47 ）$

と表す．例えば， $i = 7$ のときは $z_{7} = x_{7} + y_{7}$ である．

図１（再掲）

　 $z$ の平均値を $\overline{z}$ とするとき

$z_{i} - \overline{z} = (x_{i} - \overline{x}) + (y_{i} - \overline{y})$ $（ i = 1 ， 2 ， \dots ， 47 ）$

である．このことに着目すると， $z$ の分散を ${s_{z}}^{2}$ とするとき， ${s_{z}}^{2} = テ$ となる．

　また，令和 $4$ 年の $x$ と $y$ の間には正の相関があることが図１からわかる．このことから，令和 $4$ 年について， ${s_{z}}^{2}$ と ${s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$ の関係として，後の $0 〜$ $2$ のうち，正しいものは $ト$ であることがわかる．

$テ$ の解答群

$0 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2} - 2 s_{x, y}$ $1 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2} - s_{x, y}$ $2 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$ $3 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2} + s_{x, y}$ $4 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2} + 2 s_{x, y}$

$ト$ の解答群

$0$ 　 ${s_{z}}^{2} > {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$

$1$ 　 ${s_{z}}^{2} = {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$

$2$ 　 ${s_{z}}^{2} < {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$

(3)　太郎さんが住む地域では，その地域に宿泊を促すためのキャンペーンとして，キャンペーン $A ，$ $B$ が実施されている．

　太郎さんは，キャンペーン $A$ の方がよいと思っている人が多いといううわさを聞いた．このうわさのとおり，キャンペーン $A$ の方がよいと思っている人が多いといえるかどうかを確かめることにした．そこで，かたよりなく選んだ人たちに，キャンペーン $A ，$ $B$ のどちらがよいかについて，二択のアンケートを行ったところ，アンケートに回答した $35$ 人のうち， $23$ 人が「キャンペーン $A$ の方がよい」と答えた．この結果から，一般にキャンペーン $A$ の方がよいと思っている人が多いといえるかどうかを，次の方針で考えることにした．

方針

・”「キャンペーン $A$ の方がよい」と回答する割合と「キャンペーン $B$ の方がよい」と回答する割合は等しい”という仮説を立てる．

・この仮説のもとで，かたよりなく選ばれた $35$ 人のうち $23$ 人以上が「キャンペーン $A$ の方がよい」と回答する確率が $5 %$ 未満であれば，その仮説は誤っていると判断し， $5 %$ 以上であればその仮説は誤っているとは判断しない．

　後の実験結果は， $35$ 枚の硬貨を投げる実験を $1000$ 回行ったとき，表が出た枚数ごとの回数の割合を示したものである．

実験結果

表の枚数(枚)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
割合 $(%)$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.1$	$0.1$	$0.8$	$1.3$
表の枚数(枚)	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$
割合 $(%)$	$2.2$	$4.5$	$6.9$	$9.5$	$12.3$	$13.0$	$12.9$	$11.2$	$9.6$	$7.2$	$4.1$	$2.4$
表の枚数(枚)	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$
割合 $(%)$	$0.9$	$0.5$	$0.4$	$0.0$	$0.1$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$

　実験結果を用いると， $35$ 枚の硬貨のうち $23$ 枚以上が表となった割合は， $ナ . ニ %$ である．これを， $35$ 人のうち $23$ 人以上が「キャンペーン $A$ の方がよい」と回答する確率とみなし，方針に従うと，“「キャンペーン $A$ の方がよい」と回答する割合と「キャンペーン $B$ の方がよい」と回答する割合は等しい”という仮説は $ヌ．$ したがって，今回のアンケート結果からは，キャンペーン $A$ の方がよいと思っている人が $ネ．$

　 $ヌ，$ $ネ$ については，最も適当なものを，次のそれぞれの解答群から一つずつ選べ．

$ヌ$ の解答群

$0 誤っていると判断する$ $1 誤っているとは判断しない$

$ネ$ の解答群

$0 多いといえる$ $1 多いとはいえない$

2025-10000-0105

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2025　大学入学共通テスト　本試験

数学IA,旧数学IA共通

旧数学IAは【５】で，【３】〜【５】から２題選択

配点20点

易□　並□　難□

【３】　 $6$ 点 $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D ，$ $E ，$ $F$ を頂点とし，三角形 $ABC$ と $DEF ，$ および四角形 $ABED ，$ $ACFD ，$ $BCFE$ を面とする五面体がある．ただし，直線 $AD$ と $BE$ は平行でないとする．

参考図

　以下では，例えば，面 $ABC$ を含む平面を平面 $ABC ，$ 面 $ABED$ を含む平面を平面 $ABED ，$ などということにする．

(1)　 $3$ 直線 $AD ，$ $BE ，$ $CF$ は $1$ 点で交わる．これを証明しよう．

　直線 $AD$ と $BE$ は平面 $ABED$ 上にあり，平行でないので $1$ 点で交わる．その交点を $P$ とする．

　点 $P$ は直線 $AD$ 上にあり，直線 $AD$ は平面 $ABED$ と平面 $ア$ との交線であるから，点 $P$ は平面 $ア$ 上にあることがわかる．

　また，点 $P$ は直線 $BE$ 上にあり，直線 $BE$ は平面 $ABED$ と平面 $イ$ との交線であるから，点 $P$ は平面 $イ$ 上にあることがわかる．

　平面 $ア$ と平面 $イ$ との交線は直線 $CF$ であるから，点 $P$ は直線 $CF$ 上にもあることがわかる．したがって， $3$ 直線 $AD ，$ $BE ，$ $CF$ は点 $P$ で交わる．

$ア，$ $イ$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

$0 ABC$ $1 DEF$ $2 ACFD$ $3 BCFE$

(2)　五面体において，面 $ABC$ は一辺の長さが $3$ の正三角形であり

$AD = 7 ，$ $BE = 11 ，$ $CF = 17 ，$ $DE = 9$

であるとする．また， $6$ 点 $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D ，$ $E ，$ $F$ はある一つの球面上にあるとし，その球面を $S$ とする．直線 $AD$ と $BE$ の交点を $P$ とする．

参考図（再掲）

(ⅰ)　平面 $ABED$ と球面 $S$ が交わる部分は円であり， $4$ 点 $A ，$ $B ，$ $E ，$ $D$ はその円周上にある．このことから，三角形 $PAB$ と $PED$ は相似であることがわかり，その相似比は $1 : ウ$ である．したがって

$ウ PA = PB + エオ$

$ウ PB = PA + カ$

が成り立つ．よって

$PA = キ，$ $PB = ク$

となる．

(ⅱ)　平面 $BCFE$ と球面 $S$ が交わる部分に着目すると，方べきの定理より

$PC = ケ$

となる．したがって

$EF = コサ，$ $DF = シス$

となる．

(ⅲ)　 $∠ADE ，$ $∠ADF ，$ $∠EDF$ の大きさに着目すると，次の命題(a)，(b)，(c)の真偽の組合せとして正しいものは $セ$ であることがわかる．

(a)　平面 $ABED$ と平面 $DEF$ は垂直である．

(b)　直線 $DE$ は平面 $ACFD$ に垂直である．

$セ$ の解答群

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
(a)	真	真	真	真	偽	偽	偽	偽
(b)	真	真	偽	偽	真	真	偽	偽
(c)	真	偽	真	偽	真	偽	真	偽

2025-10000-0106

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2025　大学入学共通テスト　本試験

数学IA

配点20点

易□　並□　難□

【４】　ある行事で，主催者が次のゲームを計画している．

ゲーム

　参加者はくじを最大 $3$ 回引き，当たりが出たら， $1200$ 円相当の景品を主催者から受け取り，以降はくじを引かない．参加者はくじを $1$ 回目， $2$ 回目， $3$ 回目で異なる箱から引く． $1$ 回目のくじ引きで当たりが出なかった場合は $2$ 回目のくじを引き， $2$ 回目のくじ引きでも当たりが出なかった場合は $3$ 回目のくじを引く．主催者は，当たりの出る確率について次のとおり設定する．

・ $1$ 回目に当たりが出る確率は $\frac{3}{16}$ である．

・ $1$ 回目に当たりが出ず，かつ $2$ 回目に当たりが出る確率は $\frac{1}{8}$ である．

・ $1$ 回目， $2$ 回目ともに当たりが出ず，かつ $3$ 回目に当たりが出る確率は $\frac{1}{16}$ である．

　ゲームの参加料について，主催者は $2$ 種類の支払い方法を考えている．参加料に関する設定の妥当性について，主催者は判断を行う．

(1)　 $1$ 回目または $2$ 回目に当たりが出る確率は $\frac{ア}{イウ}$ である．このことから， $1$ 回目， $2$ 回目ともに当たりが出ない確率は $\frac{エオ}{カキ}$ であることがわかる． $1$ 回も当たりが出ない確率は $\frac{ク}{ケ}$ である．

　以下では，主催者が参加者に対して負担する金額を $X$ 円とする．すなわち，参加者がゲームで景品を受け取るとき $X = 1200 ，$ 参加者がゲームで景品を受け取らないとき $X = 0$ である．

(2)

$X$	$0$	$1200$	計
確率			$1$

(ⅰ)　数量 $X$ の期待値は $コサシ$ である．なお，必要に応じて，右に示す表を用いて考えてもよい．

(ⅱ)　次の支払い方法１を考える．

支払い方法１

　参加者は $1$ 回目のくじを引く直前に参加料 $500$ 円を支払う．

　支払い方法１の場合，主催者が負担する金額 $X$ 円の期待値が，参加料の金額 $500$ 円未満であるとき，主催者は参加料の設定は妥当であると判断し，参加料の金額 $500$ 円以上であるとき，参加料の設定は妥当ではないと判断する．

　(ⅰ)で求めた $X$ 円の期待値 $コサシ$ 円は参加料の金額 $500$ 円 $ス．$ したがって，主催者は参加料 $500$ 円という設定について $セ$ と判断する．

$ス$ の解答群

$0 未満である$ $1 以上である$

$セ$ の解答群

$0 妥当である$ $1 妥当ではない$

(3)　 $a$ を正の整数とする．次の支払い方法２を考える．

支払い方法２

　参加者は $1$ 回目， $2$ 回目， $3$ 回目のくじを引く直前にそれぞれ料金 $a$ 円を支払う．なお，この料金をくじ引き料といい，当たりが出た後は，くじを引かないため，くじ引き料を支払わないことになる．

　支払い方法２で，ゲームを通して参加者が支払うくじ引き料の合計を参加料とし， $Y$ 円で表す．

(ⅰ)　 $a = 170$ とする．このとき，次が成り立つ．

・ $1$ 回目に当たりが出るとき， $Y = 170$ である．

・ $1$ 回目に当たりが出ず，かつ $2$ 回目に当たりが出るとき， $Y = 340$ である．

・ $1$ 回目， $2$ 回目ともに当たりが出ないとき， $Y = 510$ である．

$Y$	$170$	$340$	$510$	計
確率				$1$

　数量 $Y$ の期待値は $ソタチ$ である．なお，必要に応じて，右に示す表を用いて考えてもよい．

(ⅱ)　支払い方法２の場合，主催者が負担する金額 $X$ 円の期待値が，参加料 $Y$ 円の期待値未満であるとき，主催者はくじ引き料の設定は妥当であると判断し，参加料 $Y$ 円の期待値以上であるとき，くじ引き料の設定は妥当ではないと判断する．

　(2)の(ⅰ)で求めた $X$ 円の期待値 $コサシ$ 円は， $a = 170$ と設定した場合の支払い方法2で参加者が支払う参加料 $Y$ 円の期待値 $ソタチ$ 円 $ツ．$ したがって，主催者はくじ引き料 $170$ 円という設定について $テ$ と判断する．

　また，主催者がくじ引き料の設定が妥当であると判断するのは $a > トナニ$ のときであり，主催者がくじ引き料の設定が妥当ではないと判断するのは $a ≦ トナニ$ のときである．

$ツ$ の解答群

$0 未満である$ $1 以上である$

$テ$ の解答群

$0 妥当である$ $1 妥当ではない$

2025-10000-0107

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2025　大学入学共通テスト　本試験

数学I,旧数学I共通

配点10点

易□　並□　難□

【１】

［２］

(1)　 $U$ を全体集合とし， $A ，$ $B$ を $U$ の部分集合とする．

　 $U ，$ $A ，$ $B$ の関係を図１のように表すと，例えば， $A \cap \overline{B}$ は，図２の斜線部分となる．


図１		図２

　このとき， $(A \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B})$ は $コ$ の斜線部分である．

$コ$ については，最も適当なものを，次の $0 〜$ $5$ のうちから一つ選べ．

$0$	$1$	$2$

$3$	$4$	$5$

(2)　全体集合 $U$ を， $U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ とする．

(ⅰ)　 $P ，$ $Q$ を $U$ の部分集合とし

$P = {2, 3, 5, 8, 9} ，$ $Q = {1, 3, 4, 5, 9}$

とする．このとき

$P \cap Q = {サ, シ, ス}$

$\overline{P} \cap \overline{Q} = {セ, ソ, タ}$

である．ただし

$サ < シ < ス，$ $セ < ソ < タ$

とする．

(ⅱ)　 $A ，$ $B$ を $U$ の部分集合とし， $A = {1, 4, 5, 7}$ とする．

・ $B$ が $(A \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B}) = U$ を満たすとき， $B = チ$ である．

・ $B$ が $(A \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B}) = \emptyset$ を満たすとき， $B = ツ$ である．

$チ，$ $ツ$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい．）

$0 {0, 3, 5, 8}$	$1 {1, 2, 6, 7}$
$2 {1, 4, 5, 7}$	$3 {0, 2, 3, 7, 8}$
$4 {1, 5, 6, 8, 9}$	$5 {0, 2, 5, 6, 8}$
$6 {0, 2, 3, 6, 8, 9}$	$7 {0, 2, 4, 6, 7, 9}$
$8 {1, 2, 3, 5, 7, 9}$	$9 \emptyset$

2025-10000-0108

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2025　大学入学共通テスト　本試験

数学I,旧数学I共通

配点10点

易□　並□　難□

【２】

［１］　辺 $AD$ と $BC$ が平行である台形 $ABCD$ があり

$AD = 1 ，$ $BC = 12 ．$ $\tan ∠ABC = \frac{3}{4} ，$ $\tan ∠BCD = 2$

を満たしているとする．

(1)　点 $A ，$ $D$ から直線 $BC$ に引いた垂線と $BC$ との交点を，それぞれ $P ，$ $Q$ とする．このとき

$BP + CQ = アイ，$ $BP = \frac{ウ}{エ} AP$

となる．また

$AP = オ$

となる．

(2)　対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $R$ とする．このとき

$\tan ∠BCR = \frac{カ}{キ} ，$ $\tan ∠CBR = \frac{ク}{ケ}$

となる．したがって， $∠BRC$ の大きさは $コ．$

$コ$ の解答群

$0$ 　 $0 °$ より大きく $45 °$ より小さい

$1$ 　 $45 °$ に等しい

$2$ 　 $45 °$ より大きく $90 °$ より小さい

$3$ 　 $90 °$ に等しい

$4$ 　 $90 °$ より大きく $135 °$ より小さい

$5$ 　 $135 °$ に等しい

$6$ 　 $135 °$ より大きく $180 °$ より小さい

2025-10000-0109

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2025　大学入学共通テスト　本試験

数学I,旧数学I共通

配点15点

易□　並□　難□

【３】［１］　 $f (x) = 3 x^{2} + 18 x + 20$ とする．

(1)　 $2$ 次関数 $y = f (x)$ のグラフの頂点の座標は

$(アイ, ウエ)$

である．また， $2$ 次方程式 $f (x) = 0$ は $オ．$

$オ$ の解答群

$0$ 　異なる二つの正の解をもつ

$1$ 　正の解と負の解を一つずつもつ

$2$ 　異なる二つの負の解をもつ

$3$ 　実数解をもたない

(2)　 $s$ を定数とし， $y = f (x)$ のグラフを， $x$ 軸方向に $s ，$ $y$ 軸方向に $- 5$ だけ平行移動した放物線をグラフとする $2$ 次関数を $y = g (x)$ とおく．

(ⅰ)　このとき

$g (x) = 3 x^{2}$ $+ (18 - カ s) x$ $+ キ (s^{2} - ク s + ケ)$

である．

(ⅱ)　太郎さんと花子さんは， $2$ 次方程式 $g (x) = 0$ が $0$ でない実数解をもつときの，その解の正負について考えている．

太郎： $2$ 次方程式 $g (x) = 0$ の実数解の正負が知りたいだけなら，解を具体的に求める必要はないね．

花子：そうだね． $2$ 次関数 $y = g (x)$ のグラフと， $x$ 軸， $y$ 軸との位置関係を考えればわかるね．

　 $2$ 次方程式 $g (x) = 0$ が正の解と負の解を一つずつもつような定数 $s$ の値の範囲は $コ < s < サ$ である．

(3)　 $t$ を定数とし， $y = f (x)$ のグラフを， $x$ 軸方向に $t ，$ $y$ 軸方向に $t^{2} - 6 t$ だけ平行移動した放物線をグラフとする $2$ 次関数を $y = h (x)$ とおく． $2$ 次方程式 $h (x) = 0$ が異なる二つの正の解をもつような定数 $t$ の値の範囲は $シ < t < ス$ である．

2025-10000-0110

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2025　大学入学共通テスト　本試験

数学I

数学IA【２】［２］の類題

配点20点

易□　並□　難□

【４】　以下の問題を解答するにあたっては，与えられたデータに対して，次の値を外れ値とする．

$「 (第 1 四分位数)$ $- 1.5 \times (四分位範囲) 」$ 以下の値

$「 (第 3 四分位数)$ $+ 1.5 \times (四分位範囲) 」$ 以上の値

　なお，以下の図や表については，国土交通省のWebページをもとに作成している．

(1)

図１　令和 $4$ 年の外国人宿泊者数

と日本人宿泊者数の散布図

　次の(a)，(b)は，図１に関する記述である．

(a)　令和 $4$ 年について，外国人宿泊者数が $100$ を超え，かつ日本人宿泊者数が $2500$ を超える都道府県の数は $2$ である．

(b)　令和 $4$ 年について，日本人宿泊者数が外国人宿泊者数の $10$ 倍未満である都道府県の割合は $50 %$ 未満である．

　(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものは $ア$ である．

$ア$ の解答群

	$0$	$1$	$2$	$3$
(a)	正	正	誤	誤
(b)	正	誤	正	誤

(ⅱ)　 $47$ 都道府県における令和 $4$ 年の外国人宿泊者数を分析した結果，外れ値となる都道府県の数は $8$ であった．

表１　 $47$ 都道府県における令和 $4$ 年の日本人宿泊者数

都道府県	日本人宿泊者数	都道府県	日本人宿泊者数	都道府県	日本人宿泊者数	都道府県	日本人宿泊者数
$P 1$	$182$	$P 13$	$373$	$P 25$	$620$	$P 37$ *	$1339$
$P 2$	$187$	$P 14$	$388$	$P 26$	$625$	$P 38$	$1399$
$P 3$	$197$	$P 15$	$395$	$P 27$	$646$	$P 39$	$1547$
$P 4$	$204$	$P 16$	$401$	$P 28$	$670$	$P 40$ *	$1765$
$P 5$	$255$	$P 17$	$405$	$P 29$	$683$	$P 41$	$1814$
$P 6$	$270$	$P 18$	$452$	$P 30$	$705$	$P 42$ *	$1970$
$P 7$	$276$	$P 19$	$458$	$P 31$	$831$	$P 43$ *	$2158$
$P 8$	$286$	$P 20$	$501$	$P 32$	$832$	$P 44$ *	$2195$
$P 9$	$303$	$P 21$	$522$	$P 33$	$839$	$P 45$ *	$2831$
$P 10$	$321$	$P 22$	$537$	$P 34$	$876$	$P 46$ *	$2839$
$P 11$	$328$	$P 23$	$605$	$P 35$	$925$	$P 47$ *	$5226$
$P 12$	$351$	$P 24$	$613$	$P 36$	$1251$

　表１のデータにおいて，四分位範囲は $イ$ となることから，令和 $4$ 年の外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の両方で外れ値となる都道府県の数は $ウ$ である．

$イ$ の解答群

$0 320$ $1 450$ $2 597$ $3 638$ $4 900$

$5 966$ $6 1253$ $7 1261$ $8 1602$ $9 1864$

(ⅲ)　令和 $4$ 年の外国人宿泊者数と日本人宿泊者数について，両方で外れ値となる都道府県を除いたデータで散布図を作成したところ，正の相関があることがわかった．このときの相関係数を計算するために，表２のように，平均値，標準偏差および共分散を求めた．

表２　両方で外れ値となる都道府県を除いた令和 $4$ 年の

外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の平均値，標準偏差，共分散

	平均値	標準偏差	共分散
外国人宿泊者数	$15$	$26$	$11373$
日本人宿泊者数	$739$	$552$	$11373$

　表２を用いると，両方で外れ値となる都道府県を除いた令和 $4$ 年の外国人宿泊者数と日本人宿泊者数の相関係数は $エ$ である．

$エ$ については，最も適当なものを，次の $0 〜$ $7$ のうちから一つ選べ．

$0 0.03$ $1 0.21$ $2 0.59$ $3 0.68$ $4 0.79$ $5 0.97$ $6 1.03$ $7 1.26$

(2)　 $47$ 都道府県におけるある年の外国人宿泊者数を $x ，$ 日本人宿泊者数を $y$ とし， $x$ と $y$ の値の組を，それぞれ

$(x_{1}, y_{1}) ，$ $(x_{2}, y_{2}) ，$ $\dots ，$ $(x_{47}, y_{47})$

　 $47$ 都道府県それぞれにおける外国人宿泊者数と日本人宿泊者数を足し合わせた合計宿泊者数を $z$ とし，その値を

$z_{i} = x_{i} + y_{i}$ $（ i = 1 ， 2 ， \dots ， 47 ）$

と表す．例えば， $i = 7$ のときは $z_{7} = x_{7} + y_{7}$ である．

図１（再掲）

(ⅰ)　 $z$ の平均値を $\overline{z}$ とするとき

$z_{i} - \overline{z} = (x_{i} - \overline{x}) + (y_{i} - \overline{y})$ $（ i = 1 ， 2 ， \dots ， 47 ）$

である．このことに着目すると， $z$ の分散を ${s_{z}}^{2}$ とするとき， ${s_{z}}^{2} = オ$ となる．

　また，令和 $4$ 年の $x$ と $y$ の間には正の相関があることが図１からわかる．このことから，令和 $4$ 年について， ${s_{z}}^{2}$ と ${s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$ の関係として，後の $0 〜$ $2$ のうち，正しいものは $カ$ であることがわかる．

$オ$ の解答群

$0 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2} - 2 s_{x, y}$ $1 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2} - s_{x, y}$ $2 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$ $3 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2} + s_{x, y}$ $4 {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2} + 2 s_{x, y}$

$カ$ の解答群

$0$ 　 ${s_{z}}^{2} > {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$

$1$ 　 ${s_{z}}^{2} = {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$

$2$ 　 ${s_{z}}^{2} < {s_{x}}^{2} + {s_{y}}^{2}$

(ⅱ) 太郎さんは，合計宿泊者数 $z$ の変化に関心をもち， $z$ についての前年との比に着目することにした．

　例えば，(1)の(ⅱ)における都道府県 $P 22$ の $z$ は令和 $2$ 年では $450$ であり，令和 $3$ 年では $376$ であった．このとき，都道府県 $P 22$ における令和 $3$ 年の $z$ についての前年との比は， $376$ を $450$ で割った値である．以下においては，それぞれの都道府県におけるある年の $z$ についての前年比を，次のように定める．

前年比

ある年の $z$ を，その前年の $z$ で割った値

　図２は， $47$ 都道府県における令和元年から令和 $4$ 年までの前年比の箱ひげ図を並べたものである．図２にある四つの箱ひげ図において，前年比の外れ値は，白丸で示されている．

図２　 $47$ 都道府県における令和元年から

令和 $4$ 年までの前年比の箱ひげ図

　次の(a)，(b)，(c)は，図２に関する記述である．

(a)　令和元年の箱ひげ図において外れ値となる都道府県はすべて，令和 $4$ 年においても外れ値となっている．

(b)　すべての都道府県において，令和 $2$ 年の $z$ は令和元年よりも減少している．

　(a)，(b)，(c)の正誤の組合せとして正しいものは $キ$ である．

$キ$ の解答群

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
(a)	正	正	正	正	誤	誤	誤	誤
(b)	正	正	誤	誤	正	正	誤	誤
(c)	正	誤	正	誤	正	誤	正	誤

(3)　太郎さんが住む地域では，その地域に宿泊を促すためのキャンペーンとして，キャンペーン $A ，$ $B$ が実施されている．

方針

・”「キャンペーン $A$ の方がよい」と回答する割合と「キャンペーン $B$ の方がよい」と回答する割合は等しい”という仮説を立てる．

　後の実験結果は， $35$ 枚の硬貨を投げる実験を $1000$ 回行ったとき，表が出た枚数ごとの回数の割合を示したものである．

実験結果

表の枚数(枚)	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$
割合 $(%)$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.1$	$0.1$	$0.8$	$1.3$
表の枚数(枚)	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$	$23$
割合 $(%)$	$2.2$	$4.5$	$6.9$	$9.5$	$12.3$	$13.0$	$12.9$	$11.2$	$9.6$	$7.2$	$4.1$	$2.4$
表の枚数(枚)	$24$	$25$	$26$	$27$	$28$	$29$	$30$	$31$	$32$	$33$	$34$	$35$
割合 $(%)$	$0.9$	$0.5$	$0.4$	$0.0$	$0.1$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$	$0.0$

　実験結果を用いると， $35$ 枚の硬貨のうち $23$ 枚以上が表となった割合は， $ク . ケ %$ である．これを， $35$ 人のうち $23$ 人以上が「キャンペーン $A$ の方がよい」と回答する確率とみなし，方針に従うと，“「キャンペーン $A$ の方がよい」と回答する割合と「キャンペーン $B$ の方がよい」と回答する割合は等しい”という仮説は $コ．$ したがって，今回のアンケート結果からは，キャンペーン $A$ の方がよいと思っている人が $サ．$

　 $コ，$ $サ$ については，最も適当なものを，次のそれぞれの解答群から一つずつ選べ．

$コ$ の解答群

$0 誤っていると判断する$ $1 誤っているとは判断しない$

$サ$ の解答群

$0 多いといえる$ $1 多いとはいえない$

2025-10000-0111

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2025　大学入学共通テスト　本試験

旧数学IA

配点15点

旧数学I【４】の類題

易□　並□　難□

【２】

［２］　太郎さんと花子さんは，社会生活基本調査の集計結果に，「睡眠」，「食事」，「通勤・通学」，「移動（通勤・通学を除く）」などの $20$ 種類の行動それぞれについての総平均時間と行動者平均時間が， $47$ 都道府県別に集計されていることを知った．

用語の説明

・総平均時間⋯ある行動に費やした時間の調査対象者全員についての平均値(分)

・行動者平均時間⋯ある行動に費やした時間の調査対象者全員から，その行動に費やした時間が $0$ 分の人を除いた調査対象者についての平均値(分)

　例えば，「通勤・通学」に費やした時間(分)が

$75 ，$ $0 ，$ $90 ，$ $60 ，$ $0$

であったとき，これらの平均値 $\frac{75 + 0 + 90 + 60 + 0}{5} = 45$ が総平均時間であり，値が $0$ である二つを除いた $75 ，$ $90 ，$ $60$ の平均値 $\frac{75 + 90 + 60}{3} = 75$ が行動者平均時間である．

　ここでは，平日における $15$ 歳以上を対象とした集計結果を用いて，都道府県ごとに値を算出している．

　なお，以下の図や表については，総務省のWebページをもとに作成している．

(1)　太郎さんと花子さんは，「通勤・通学」に費やした時間について調べることにした．図１と図２はそれぞれ，令和 $3$ 年の「通勤・通学」の総平均時間と行動者平均時間のデータをヒストグラムに表したものである．以下，ヒストグラムの各階級の区間は，左側の数値を含み，右側の数値を含まない．


図１　令和 $3$ 年の「通勤・通学」の総平均時間のヒストグラム		図２　令和 $3$ 年の「通勤・通学」の行動者平均時間のヒストグラム

(ⅰ)　図１から，令和 $3$ 年の「通勤・通学」の総平均時間の最頻値は $タチ$ であり，同様に図２から，行動者平均時間の最頻値は $ツテ$ である．

(ⅱ)　図１のヒストグラムに関して，各階級に含まれるデータの値がすべてその階級値に等しいと仮定する．このとき，令和 $3$ 年の「通勤・通学」の総平均時間の平均値を $m$ とすると

$トナ ≦ m < トナ + 1$

である．

(ⅲ)　次に，太郎さんと花子さんは，平成 $28$ 年と令和 $3$ 年の「通勤・通学」に費やした時間を比較することにした．

　図３は，平成 $28$ 年の総平均時間，令和 $3$ 年の総平均時間，平成 $28$ 年の行動者平均時間，令和 $3$ 年の行動者平均時間の箱ひげ図を並べたものである．

　ここで，あるデータにおける最大値から第 $3$ 四分位数を引いた値を $H$ とする．そして平成 $28$ 年の総平均時間，令和 $3$ 年の総平均時間，平成 $28$ 年の行動者平均時間，令和 $3$ 年の行動者平均時間における $H$ を，それぞれ $H_{1} ，$ $H_{2} ，$ $H_{3} ，$ $H_{4}$ とする．

図３　平成 $28$ 年と令和 $3$ 年の「通勤・通学」の総平均時間と行動者平均時間の箱ひげ図

　次の(a)，(b)，(c)は，図３に関する記述である．

(a)　令和 $3$ 年の総平均時間の最大値は，令和 $3$ 年の行動者平均時間の最小値より小さい．

(b)　平成 $28$ 年の総平均時間の四分位範囲は，平成 $28$ 年の行動者平均時間の四分位範囲より小さい．

　(a)，(b)，(c)の正誤の組合せとして正しいものは $ニ$ である．

$ニ$ の解答群

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
(a)	正	正	正	正	誤	誤	誤	誤
(b)	正	正	誤	誤	正	正	誤	誤
(c)	正	誤	正	誤	正	誤	正	誤

(2)　太郎さんと花子さんは，令和 $3$ 年における「通勤・通学」と「移動（通勤・通学を除く）」（以下，「移動」）に関し，それぞれの行動に費やした総平均時間と行動者平均時間の関係について話をしている．

太郎：通勤の途中で，ふだんの経路を大きくはずれて買い物に行ったり病院に行ったりする人もいるけど，こうした行動は「通勤・通学」ではなく，「移動」になるね．「通勤・通学」に費やした時間が長いほど，「移動」に費やした時間は長いのかな．

花子：じゃあ，それぞれに費やした時間の関係を調べてみようよ．

　図４と図５は「通勤・通学」と「移動」の総平均時間と行動者平均時間の散布図であり，図中の黒丸は，二つの点が完全に重なっていることを表している．なお，三つ以上の点が完全に重なっていることはない．ただし，図４と図５において，同じアルファベットを付している点は，同じ都道府県であることを表している．


図４「通勤・通学」と「移動」の総平均時間の散布図		図５「通勤・通学」と「移動」の行動者平均時間の散布図

(ⅰ)　図５から，「通勤・通学」の行動者平均時間が $60$ 以下で，かつ「移動」の行動者平均時間が $75$ 以下である都道府県の数は $ヌ$ である．

(ⅱ)　図４における四つの点 $A ，$ $B ，$ $C ，$ $D$ が表す都道府県では，「通勤・通学」の総平均時間が同じ値であるが，図５では「通勤・通学」の行動者平均時間について，点 $A$ が表す都道府県の値は他の三つのどの都道府県の値よりも大きくなっていることがわかる．このようになるのは， $ネ$ からである．

$ネ$ については，最も適当なものを，次の $0 〜$ $3$ のうちから一つ選べ．

$0$ 　点 $A$ が表す都道府県の「通勤・通学」に費やした時間が $0$ である人数の割合が，他の三つのどの都道府県の割合よりも大きい

$1$ 　点 $A$ が表す都道府県の「通勤・通学」に費やした時間が $0$ である人数の割合が，他の三つのどの都道府県の割合よりも小さい

$2$ 　点 $A$ が表す都道府県の「移動」に費やした時間が $0$ である人数の割合が，他の三つのどの都道府県の割合よりも大きい

$3$ 　点 $A$ が表す都道府県の「移動」に費やした時間が $0$ である人数の割合が，他の三つのどの都道府県の割合よりも小さい

(ⅲ)　太郎さんと花子さんは，総平均時間と行動者平均時間のそれぞれの相関関係について調べることにした．

　「通勤・通学」と「移動」の総平均時間の相関係数は $0.36$ であった．「通勤・通学」と「移動」の行動者平均時間の相関係数を計算するために，表１のように平均値，標準偏差および共分散を求めた．

表１「通勤・通学」と「移動」の行動者平均時間の平均値，標準偏差，共分散

	平均値	標準偏差	共分散
「通勤・通学」の行動者平均時間	$71.8$	$11.8$	$64.4$
「移動」の行動者平均時間	$76.6$	$7.9$	$64.4$

　表１を用いると，「通勤・通学」と「移動」の行動者平均時間の相関係数は $ノ$ である．

$ノ$ については，最も適当なものを，次の $0 〜$ $7$ のうちから一つ選べ．

$0 0.01$ $1 0.21$ $2 0.43$ $3 0.58$ $4 0.69$ $5 0.78$ $6 1.02$ $7 1.45$

2025-10000-0112

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2025　大学入学共通テスト　本試験

旧数学IA

【３】〜【５】から２題選択

配点20点

易□　並□　難□

【３】　じゃんけんは，複数人でグー，チョキ，パーの $3$ 種類の手のいずれかを同時に出して勝敗を決めるゲームである．グーを出した人はチョキを出した人に勝ちパーを出した人に負け，チョキを出した人はパーを出した人に勝ちグーを出した人に負け，パーを出した人はグーを出した人に勝ちチョキを出した人に負ける．出された手が $2$ 種類のときは勝敗が決まる．全員の手がすべて同じか，または $3$ 種類の手がすべて出ると，勝敗が決まらず，これをあいこという．

　以下では，各人が，グーを出す確率，チョキを出す確率，パーを出す確率はどれも $\frac{1}{3}$ であるとする．

　二人もしくは三人で次のルール１に従ってじゃんけんを行う．

ルール１

・じゃんけんを，最大で $3$ 回行う．ただし，あいこも $1$ 回と数える．

・勝者が一人になった時点でじゃんけんは終わり，その一人を優勝者と呼ぶ．

・ある回で負けていない人は，次の回のじゃんけんに参加する．

・ある回で負けた人は，次の回以降のじゃんけんには参加しない．

(1)　二人でルール１に従ってじゃんけんを行う場合を考える．

(ⅰ)　 $1$ 回目であいこになる確率は $\frac{ア}{イ}$ である．したがって， $1$ 回目で優勝者が決まる確率は $1 - \frac{ア}{イ}$ である．

(ⅱ)　 $2$ 回目で優勝者が決まる確率は $\frac{ウ}{エ}$ である．

(ⅲ)　 $3$ 回目で優勝者が決まる確率は $\frac{オ}{カキ}$ である．

(2)　三人でルール１に従ってじゃんけんを行う場合を考える．また，人数の推移を次のように表すものとする．

人数の推移

・ $1$ 回目で優勝者が決まる場合を， $3 \to 1$ と表す．

・ $2$ 回目のじゃんけんを行う人数が $m$ 人で，かつ $2$ 回目で優勝者が決まる場合を， $3 \to m \to 1$ と表す．

・ $2$ 回目， $3$ 回目において，じゃんけんを行う人数がそれぞれ $m$ 人， $n$ 人で，かつ $3$ 回目で優勝者が決まる場合を， $3 \to m \to n \to 1$ と表す．

(ⅰ)　 $1$ 回目で優勝者が決まる，つまり人数の推移が $3 \to 1$ となる確率は $\frac{ク}{ケ}$ である．

(ⅱ)　 $2$ 回目で優勝者が決まる場合，起こり得る人数の推移は $3 \to 3 \to 1$ と $3 \to 2 \to 1$ である．

・人数の推移が $3 \to 3 \to 1$ となるのは， $1$ 回目であいこになり，かつ $2$ 回目で優勝者が決まる場合である． $1$ 回目であいこになる確率は $\frac{コ}{サ}$ である．したがって，人数の推移が $3 \to 3 \to 1$ となる確率は $\frac{コ}{サ} \times \frac{ク}{ケ}$ である．

・人数の推移が $3 \to 2 \to 1$ となる確率は $\frac{シ}{ス}$ である．

　以上から， $2$ 回目で優勝者が決まる確率はこれらを足し合わせて求められる．

(ⅲ)　 $3$ 回目で優勝者が決まる確率は $\frac{セ}{ソタ}$ である．

(3)　三人でルール１に従ってじゃんけんを行う場合と，三人で次のルール２に従ってじゃんけんを行う場合に，優勝者が決まる確率がどれくらい異なるのかについて考えよう．

ルール２

・じゃんけんを，最大で

3

回行う．ただし，あいこも

1

回と数える．

・勝者が一人になった時点でじゃんけんは終わり，その一人を優勝者と呼ぶ．

・ある回で負けていない人は，次の回のじゃんけんに参加する．

・ $1$ 回目で負けた人は， $2$ 回目には参加しない．また， $2$ 回目で優勝者が決まっていない場合， $1$ 回目で負けた人は， $3$ 回目に参加する．

・ $2$ 回目で負けた人は， $3$ 回目には参加しない．

(ⅰ)　三人でルール２に従ってじゃんけんを行う場合を考える． $3$ 回目で優勝者が決まる場合， $2$ 回目， $3$ 回目において，じゃんけんを行う人数をそれぞれ $m$ 人， $n$ 人とする．このとき，起こり得る $m ，$ $n$ の組 $(m, n)$ として，次の $0 〜$ $9$ のうち，正しいものは $チ$ である．

$チ$ の解答群

$0 (2, 2) と (2, 3) だけ$	$1 (2, 2) と (3, 2) だけ$
$2 (2, 2) と (3, 3) だけ$	$3 (2, 3) と (3, 2) だけ$
$4 (2, 3) と (3, 3) だけ$	$5 (3, 2) と (3, 3) だけ$
$6 (2, 2) と (2, 3) と (3, 2) だけ$	$7 (2, 2) と (2, 3) と (3, 3) だけ$
$8 (2, 2) と (3, 2) と (3, 3) だけ$	$9 (2, 3) と (3, 2) と (3, 3) だけ$

(ⅱ)　ルール１の方がルール２に比べて，優勝者が決まる確率は $\frac{ツ}{テト}$ だけ $ナ．$

$ナ$ の解答群

$0 大きい$ $1 小さい$

2025-10000-0113

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【３】〜【５】から２題選択

配点20点

易□　並□　難□

【４】

(1)　 $702$ を素因数分解すると

$702 = 2 \times 3^{ア} \times イウ$

となる． $702$ の正の約数の個数は $エオ$ 個である．

(2)　不定方程式

$9 x - 23 y = 1$

の整数解のうち， $x$ が正の整数で最小になるのは

$x = カキ，$ $y = ク$

である．

(3)　太郎さんと花子さんは，次の二つの条件(A)，(B)を満たす正の整数 $n$ について考えている．

(A)　 $n$ と $702$ の最大公約数が $9$ である．

(B)　 $n$ を $23$ で割った余りが $6$ である．

(ⅰ)　二人は，条件(A)について話をしている．

太郎：まず，条件(A)を満たす $n$ について考えてみようよ．

花子：条件(A)からは $9$ で割り切れることがわかるね．

太郎： $702$ を $9$ で割ると $78$ になるね．

花子： $n$ を $9$ で割ったときの商と $78$ との間にどのような関係があるかな．

　条件(A)より， $n$ はある正の整数 $m$ を用いて， $n = 9 m$ と表されることがわかる．このとき， $m$ に関する記述として，次の $0 〜$ $2$ のうち，正しいものは $ケ$ である．

$ケ$ の解答群

$0$ 　 $m$ は $78$ の倍数である．

$1$ 　 $m$ は $1$ と $78$ 以外の $78$ の約数である．

$2$ 　 $m$ と $78$ の最大公約数は $1$ である．

(ⅱ)　二人は，次のように話している．

太郎：条件(A)と条件(B)をともに満たす $n$ を求めるには，どうすればいいのかな．

花子： $n$ は $9$ の倍数であり，また $23$ で割った余りが $6$ であるから，不定方程式 $9 x = 23 y + 6$ の整数解を利用することができそうだね．

　 $x = カキ，$ $y = ク$ が不定方程式 $9 x = 23 y + 1$ の整数解であることを用いると，不定方程式

$9 x = 23 y + 6$

のすべての整数解は， $k$ を整数として

$x = カキ \times 6 + コサ k ，$ $y = ク \times 6 + シ k$

と表される．

(ⅲ)　(ⅰ)と(ⅱ)より，条件(A)と条件(B)をともに満たす正の整数 $n$ のうち最小のものは $スセソ$ であることがわかる．

(4)　次の命題(a)，(b)，(c)の真偽の組合せとして正しいものは $タ$ である．

(a)　 $702$ との最大公約数が $9$ であり，かつ $23$ で割った余りが $4$ である正の整数が存在する．

(b)　 $702$ との最大公約数が $9$ であり，かつ $24$ で割った余りが $7$ である正の整数が存在する．

$タ$ の解答群

	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
(a)	真	真	真	真	偽	偽	偽	偽
(b)	真	真	偽	偽	真	真	偽	偽
(c)	真	偽	真	偽	真	偽	真	偽

2025-10000-0114

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