2024　海上保安大学校　記述式問題

【１】　以下の設問に答えよ．

(1)　$\tan \alpha =\sqrt{2}\text{，}$$\tan \beta =-1$のとき，$\tan (\alpha +\beta )$の値を求めよ．ただし，答えの分母を有理化すること．

【１】　以下の設問に答えよ．

(2)　赤玉$4$個，青玉$2$個，白玉$1$個を$1$列に並べるとき，その並べ方は全部で何通りあるか．

【１】　以下の設問に答えよ．

(3)　全体集合を$U=\{x|x\text{は}12\text{の約数}\}$とする．$A=\{x|x\in U\text{，}x\text{は}2\text{の倍数}\}\text{，}$$B=\{x|x\in U\text{，}x\text{は}3\text{の倍数}\}$とするとき，集合$A\cap \bar{B}$の要素を書き並べて表せ．ただし，$\bar{B}$は集合$B$の補集合である．

【１】　以下の設問に答えよ．

(4)　関数$y=2\sqrt{2}\sin x+\cos 2x$$\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$の最大値及び最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$において$\mathrm{OA}=4\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{13}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$の値を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{OAB}$の垂心を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とする．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{HP}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{\mathrm{HG}}$により定めると，点$\mathrm{P}$は三角形$\mathrm{OAB}$の外心となることを示せ．

【３】　以下の設問に答えよ．

(1)　$2$次方程式$a{x}^2+bx+c=0$が異なる実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとき，等式$a{x}^2+bx+c$$=a(x-\alpha )(x-\beta )$が成り立つ．このとき，以下の等式を証明せよ．

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(a{x}^2+bx+c)\mathit{dx}=-{\displaystyle \frac{a}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$

(2)　$a$及び$k$を定数とし，$k>0$とする．二つの関数$y=f(x)=x^2$と$y=g(x)$$=-{(x-a)}^2+k(a^2+1)$を考える．

(ⅰ)　$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる二つの共有点をもつような$a$の値の範囲を，$k$を用いて表せ．

(ⅱ)　$y=f(x)$と$y=g(x)$が異なる二つの共有点をもつとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$で囲まれた部分の面積$S$が$a$の値に関係なく一定となるような$k$の値を求めよ．また，そのときの$S$の値を求めよ．