2024　航空保安大学校　学科問題

【１】　$m\text{，}$$n$を自然数とする．次の記述の$\text{㋐}\text{，}$$\text{㋑}\text{，}$$\text{㋒}$に当てはまるものをA〜Dから選び出したものの組合せとして正しいのはどれか．

・$m^2$が奇数であることは，$m$が奇数であるための$\text{㋐}\text{．}$

・$m$が$30$の約数であることは，$m$が$15$の約数であるための$\text{㋑}\text{．}$

・$m$又は$n$が$8$の倍数であることは，$mn$が$8$の倍数であるための$\text{㋒}\text{．}$

A．必要条件であるが十分条件でない

B．十分条件であるが必要条件でない

C．必要十分条件である

D．必要条件でも十分条件でもない

【２】　$3$点$(-2,-12)\text{，}$$(-1,0)\text{，}$$(3,8)$を通る放物線をグラフとする$2$次関数として正しいのはどれか．

$\text{1．}y=x^2+3x+2$$\text{2．}y=-x^2+9x+10$$\text{3．}y=-x^2+3x-2\text{4．}y=-2x^2+6x+8$$\text{5．}y=-2x^2-6x+4$

【３】　$\mathrm{AB}=6\text{，}$$\mathrm{AC}=10\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}=120\mathrm{°}$である$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径を$R\text{，}$内接円の半径を$r$とするとき，${\displaystyle \frac{R}{r}}$の値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{2．}\sqrt{3}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}\text{4．}{\displaystyle \frac{14}{3}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{14\sqrt{3}}{3}}$

【４】　大人$5$人，子ども$3$人が一列に並ぶとき，どの子どもも隣り合わない確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{3}{14}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{2}{7}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{5}{14}}\text{4．}{\displaystyle \frac{3}{7}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{1}{2}}$

【５】　$1$以上$250$以下の整数で，$250$と互いに素（最大公約数が$1\text{）}$であるものは全部でいくつあるか．

$\text{1．}50\text{個}$$\text{2．}75\text{個}$$\text{3．}100\text{個}\text{4．}125\text{個}$$\text{5．}150\text{個}$

【６】　$\mathrm{▵ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{AG}$と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{▵GBD}$と$\mathrm{▵ABC}$の面積比として正しいのはどれか．

$\text{1．}1:3$$\text{2．}1:4$$\text{3．}1:5\text{4．}1:6$$\text{5．}1:7$

【７】　$a\text{，}$$b$は実数の定数とする．$3$次方程式$x^3+a{x}^2+6x+b=0$の一つの解が$-1-i$であるとき，他の解のうち実数の解として正しいのはどれか．

　ただし，$i$は虚数単位とする．

$\text{1．}-2$$\text{2．}-\sqrt{2}$$\text{3．}-1\text{4．}0$$\text{5．}1$

【８】　直線$2x-2y-1=0$に関して，点$(2,{\displaystyle \frac{9}{2}})$と対称な点の座標として正しいのはどれか．

$\text{1．}(4,1)$$\text{2．}(4,{\displaystyle \frac{3}{2}})$$\text{3．}({\displaystyle \frac{9}{2}},1)\text{4．}(5,1)$$\text{5．}(5,{\displaystyle \frac{3}{2}})$

【９】　${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi$とする．$\sin \theta +\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，$\cos \theta -\sin \theta$の値はいくらか．

$\text{1．}-\sqrt{3}$$\text{2．}-{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{3}}$$\text{3．}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\text{4．}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{3}}$

【10】　不等式${\log }_{\frac{1}{7}}(2x+4)>-1$の解として正しいものはどれか．

$\text{1．}-2<x<-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{2．}-2<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{3．}x>-{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{4．}0<x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{5．}x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$

【11】　点$(1,0)$から曲線$y=x^2+3$に引いた接線のうち，傾きが負の直線の方程式として正しいのはどれか．

$\text{1．}y=-2x+2$$\text{2．}y=-3x+3$$\text{3．}y=-4x+4\text{4．}y=-5x+5$$\text{5．}y=-6x+6$

【12】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=3a_n+2$で表されるとき，$a_n$を表す式として正しいのはどれか．

$\text{1．}-3^{n-1}$$\text{2．}-{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n-1}$$\text{3．}-{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^n\text{4．}{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^{n-1}$$\text{5．}{3}^n$

【13】　$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{2}$で，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$と$3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$が垂直であるとき，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角として正しいのは次のうちではどれか．

$\text{1．}45\mathrm{°}$$\text{2．}60\mathrm{°}$$\text{3．}90\mathrm{°}\text{4．}120\mathrm{°}$$\text{5．}135\mathrm{°}$