2024　防衛大学校　一般

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$が，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{3}\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|=\sqrt{13}$

を満たすとき，$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$のなす角$\theta$は次のどれか．

$\text{ⓐ}30\mathrm{°}$$\text{ⓑ}45\mathrm{°}$$\text{ⓒ}60\mathrm{°}$$\text{ⓓ}90\mathrm{°}$$\text{ⓔ}120\mathrm{°}$$\text{ⓕ}135\mathrm{°}$$\text{ⓖ}150\mathrm{°}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\log x}}+{\displaystyle \frac{\log x}{x}}$の$x={\displaystyle \frac{1}{e}}$における微分係数$f^{\prime }\left({\displaystyle \frac{1}{e}}\right)$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}0$$\text{ⓑ}-2\text{ⓒ}2$$\text{ⓓ}-2e^2$$\text{ⓔ}2e^2$$\text{ⓕ}2(e^2-1)$$\text{ⓖ}2(e^2+1)$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_4^5}{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{x^2-4x+3}}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{3}}\log {\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1}{3}}\log {\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1}{3}}\log {\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{3}{2}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{4}{3}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{5}{4}}$$\text{ⓖ}1$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(4)　複素数

${\left({\displaystyle \frac{\cos {\displaystyle \frac{3}{20}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{3}{20}}\pi }{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{15}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{15}}}}\right)}^2$

の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}i$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}i$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}i$$\text{ⓖ}1$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(5)　極限$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{(1+x)\sqrt{1+4x}-(1+3x)}{x^3}}$は次のどれか．

$\text{ⓐ}0$$\text{ⓑ}1$$\text{ⓒ}-1$$\text{ⓓ}2$$\text{ⓔ}-2$$\text{ⓕ}4$$\text{ⓖ}-4$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(6)　$2$つの放物線$y=x^2$と$y=x^2-2x$の両方に接する直線の方程式は次のどれか．

$\text{ⓐ}y=x-2$$\text{ⓑ}y=-2x-8$$\text{ⓒ}y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓓ}y=-x-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓔ}y=0$$\text{ⓕ}y=-4x-1$$\text{ⓖ}y=2x-4$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(7)　関数$y={\log }_{0.5}x+{\log }_{0.5}(4-x)$の最小値を$a$とするとき，$8^a$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{64}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1}{32}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{1}{16}}$$\text{ⓓ}4$$\text{ⓔ}16$$\text{ⓕ}32$$\text{ⓖ}64$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(8)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

$\tan \theta -{\displaystyle \frac{1}{\tan \theta }}={\displaystyle \frac{48}{7}}$

のとき，$\tan 2\theta$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{7}{24}}$$\text{ⓒ}1$$\text{ⓓ}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{ⓔ}-{\displaystyle \frac{7}{24}}$$\text{ⓕ}-1$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【２】　$1$辺の長さが$3$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}}{3}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}}$$\text{ⓖ}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}1$$\text{ⓑ}\sqrt{2}$$\text{ⓒ}\sqrt{3}$$\text{ⓓ}2$$\text{ⓔ}\sqrt{5}$$\text{ⓕ}\sqrt{6}$$\text{ⓖ}\sqrt{7}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(3)線分$\mathrm{CP}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{CP}\perp \mathrm{OQ}$となる$t$の値は次のどれか．ただし，$0<t<1$とする．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{3}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{2}{5}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{7}{9}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{5}{12}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{8}{13}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{9}{14}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{2}{63}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$について，次の問に答えよ．

(1)　$f(x)$が極大となる$x$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}-3$$\text{ⓑ}-2$$\text{ⓒ}-1$$\text{ⓓ}0$$\text{ⓔ}1$$\text{ⓕ}2$$\text{ⓖ}3$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(2)　曲線$y=f(x)$の変曲点の個数は次のどれか．

$\text{ⓐ}0\text{個}$$\text{ⓑ}1\text{個}$$\text{ⓒ}2\text{個}$$\text{ⓓ}3\text{個}$$\text{ⓔ}4\text{個}$$\text{ⓕ}5\text{個}$$\text{ⓖ}6\text{個}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(3)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\sqrt{2}}}f(x)\mathit{dx}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1}{\log 3}}$$\text{ⓒ}1$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{1}{\log 2}}$$\text{ⓔ}\log 2$$\text{ⓕ}\log 3$$\text{ⓖ}2$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【４】　$a_1=5$で，初項から第$n$項までの和$S_n$が

$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2n+7}{2n+3}}{S}_n$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす数列$\{a_n\}$について，次の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}}$を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{2n+12}{2n+3}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{3n+11}{2n+3}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{4n+10}{2n+3}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{5n+9}{2n+3}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{6n+8}{2n+3}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{7n+7}{2n+3}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{8n+6}{2n+3}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(2)　和${\displaystyle \sum _{n=1}^{10}}{\displaystyle \frac{S_n}{2n+3}}$は次のどれか．

$\text{ⓐ}1021$$\text{ⓑ}1023$$\text{ⓒ}1025$$\text{ⓓ}1027$$\text{ⓔ}1029$$\text{ⓕ}1031$$\text{ⓖ}1033$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(3)　${\left({\displaystyle \frac{10}{21}}\right)}^n{S}_n$の値が最大となる$n$は次のどれか．

$\text{ⓐ}15$$\text{ⓑ}16$$\text{ⓒ}17$$\text{ⓓ}18$$\text{ⓔ}19$$\text{ⓕ}20$$\text{ⓖ}21$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,-2,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,1,-1)$を頂点とする三角形の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$\text{ⓑ}\sqrt{2}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$$\text{ⓓ}2\sqrt{2}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$$\text{ⓕ}3\sqrt{2}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{2}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(2)　$2$つの円${(x-1)}^2+{(y+2)}^2=5\text{，}$$x^2+y^2=r^2$が接するとき，定数$r$の値は次のどれか．ただし，$r>0$とする．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$$\text{ⓑ}\sqrt{5}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}$$\text{ⓓ}2\sqrt{5}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}}$$\text{ⓕ}3\sqrt{5}$$\text{ⓖ}4\sqrt{5}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(3)　$0\mathrm{°}\leqq \theta <90\mathrm{°}$とする．$\sin \theta -\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$のとき，$\tan \theta$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{2}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{3}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{3}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{3}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(4)　関数$y=x(x+3)(x-1)$の導関数は次のどれか．

$\text{ⓐ}3x^2-4x-3$$\text{ⓑ}3x^2-4x+3$$\text{ⓒ}3x^2+4x-3$$\text{ⓓ}3x^2+4x+3$$\text{ⓔ}3x^2-4x$$\text{ⓕ}3x^2+4x$$\text{ⓖ}3x^3-4x^2-3$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(5)　放物線$y=x^2-1$と直線$y=-x+1$で囲まれた図形の面積は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{7}{2}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{9}{2}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{11}{2}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{5}{3}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{7}{3}}$$\text{ⓕ}4$$\text{ⓖ}5$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(6)　$x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}=3$のとき，$x+x^{-1}$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}12$$\text{ⓑ}13$$\text{ⓒ}14$$\text{ⓓ}15$$\text{ⓔ}16$$\text{ⓕ}17$$\text{ⓖ}18$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(7)　${\log }_5(x-1)+{\log }_5(x-3)=1$の解は次のどれか．

$\text{ⓐ}2+\sqrt{2}$$\text{ⓑ}2+\sqrt{3}$$\text{ⓒ}4$$\text{ⓓ}2+\sqrt{5}$$\text{ⓔ}2+\sqrt{6}$$\text{ⓕ}2+\sqrt{7}$$\text{ⓖ}2+2\sqrt{2}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【１】　次の問に答えよ．

(8)　$a\text{，}$$b$は定数とする．放物線$y=2x^2+2ax-a+3b$の頂点が点$(1,6)$であるとき，$b$の値は次のどれか．

$\text{ⓐ}-2$$\text{ⓑ}-1$$\text{ⓒ}1$$\text{ⓓ}2$$\text{ⓔ}3$$\text{ⓕ}-{\displaystyle \frac{10}{3}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{10}{3}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(2)　線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表す式は次のどれか．ただし，$0<t<1$とする．

$\text{ⓐ}(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$\text{ⓑ}t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}$$\text{ⓒ}(1-t)\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{t}{2}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓓ}t\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1-t}{2}}\overrightarrow{b}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{1-t}{2}}\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{t}{2}}\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}$$\text{ⓖ}t\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{t}{2}}\overrightarrow{b}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表す式は次のどれか．

$\text{ⓐ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$$\text{ⓑ}{\displaystyle \frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{4}}$$\text{ⓒ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{4}}$$\text{ⓓ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{4}}$$\text{ⓔ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{5}}$$\text{ⓕ}{\displaystyle \frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{5}}$$\text{ⓖ}{\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{5}}$

$\text{ⓗ}$　以上のどれでもない．