2024　職業能力開発総合大学校　一般

【１】　次の空欄$\text{(イ)}\text{〜}$$\text{(リ)}$に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{4}{3-\sqrt{5}}}$の小数部分を$a$とするとき，${\displaystyle \frac{1}{a}}=\sqrt{5}+\text{(イ)}$であり，$\sqrt{2(1-a)}=\sqrt{5}-\text{(ロ)}$である．

【１】　次の空欄$\text{(イ)}\text{〜}$$\text{(リ)}$に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(2)　方程式$3^{2x+1}+2\cdot 3^x-1=0$の解は$x=\text{(ハ)}$である．

　また，方程式${\log }_2(x+3)+{\log }_{2}x=2$の解は$x=\text{(ニ)}$である．

【１】　次の$\text{(イ)}\text{〜}$$\text{(リ)}$に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(3)　複素数$\alpha \text{，}$$\beta$が等式${\alpha }^2-2\alpha \beta +2{\beta }^2=0$を満たすとき，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}$を極形式で表すと，${\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}=\text{(ホ)}(\cos \text{(ヘ)}+i\sin \text{(ヘ)})$である．ただし，$\beta \ne 0$とし，$0\leqq \text{(へ)}<\pi$とする．また，$i$は虚数単位とする．

　さらに，$\alpha =2+i$とするとき，複素数平面上の$3$点$\mathrm{O}(0)\text{，}$$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$を頂点とする$\mathrm{▵OAB}$の面積は$\text{(ト)}$である．

【１】　次の空欄$\text{(イ)}\text{〜}$$\text{(リ)}$に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}\sin x\cos x\mathit{dx}=\text{(チ)}$であり，${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^{2}x\cos x\mathit{dx}=\text{(リ)}$である．

【２】　次の空欄$\text{(イ)}\text{〜}$$\text{(ル)}$に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(1)　$a$を実数の定数として，$f(x)=x^3-3x^2-a+5$とおく．

$\text{①}$　関数$y=f(x)$$\text{（}1\leqq x\leqq 3\text{）}$の最大値と最小値の差は$\text{(イ)}$である．

$\text{②}$　方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつような$a$の値の範囲は$\text{(ロ)}<a<\text{(ハ)}$である．

$\text{③}$　$a=6$のとき，曲線$y=f(x)$に原点$\mathrm{O}$から引いた接線のうち，傾きが正であるものの方程式は$\text{(ニ)}$である．

【２】　次の空欄$\text{(イ)}\text{〜}$$\text{(ル)}$に適する数値を解答欄に記入しなさい．

(2)　$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{OC}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

$\text{①}$　$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}=\text{(ホ)}$である．

$\text{②}$　$\overrightarrow{\mathrm{OM}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OM}}=\text{(ヘ)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\text{(ト)}$である．

$\text{③}$　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BN}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\text{(チ)}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{BN}}=\text{(リ)}$である．

$\text{④}$　$\overrightarrow{\mathrm{MN}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{BN}}=\text{(ヌ)}$である．

$\text{⑤}$　$\theta =\mathrm{\angle BNM}$とするとき，$\cos \theta =\text{(ル)}$である．

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も解答欄に記入しなさい．

(1)　$U=\{x|x\text{は}20\text{以下の自然数}\}$とする．$U$の部分集合$A$に対して$A^{\prime }=\{x|x\in A\text{かつ}x\text{は奇数}\}\cup \left\{{\displaystyle \frac{x}{2}}\right|x\in A\text{かつ}x\text{は偶数}\}$とする．

$\text{①}$　$A=\{x|x\text{は}20\text{以下の}3\text{の倍数}\}$のとき，$A^{\prime }$の要素の個数を求めなさい．

$\text{②}$　$A=\{x|x\text{は}18\text{の約数}\}$のとき，$A^{\prime }$の部分集合は全部でいくつあるか求めなさい．ただし，空集合も部分集合であることに注意すること．

$\text{③}$　$A$は空集合ではない$U$の部分集合とする．次の$$に適するものを，下の(ア)〜(エ)から$1$つ選び，記号で答えなさい．ただし，その根拠も述べること．

　$A$が奇数を要素にもたないことは$A\ne A^{\prime }$であるための$\text{．}$

(ア)　必要条件であるが十分条件ではない

(イ)　十分条件であるが必要条件ではない

(ウ)　必要十分条件である

(エ)　必要条件でも十分条件でもない

【３】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も［解答欄］に記入しなさい．

(2)　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$の位置にある．$1$個のさいころを投げて，$1$または$2$の目が出たときには$\mathrm{P}$は正の向きに$1$だけ進み，$5$または$6$の目が出たときには$\mathrm{P}$は負の向きへ$2$だけ進む．$3$または$4$の目が出たときには$\mathrm{P}$は進まないものとする．

$\text{①}$　さいころを$3$回続けて投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$の位置にある確率を求めなさい．

$\text{②}$　さいころを$5$回続けて投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$の位置にある確率を求めなさい．

【４】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も解答欄に記入しなさい．

(1)　$f(\theta )=\sin \theta +2\cos \theta$とおく．

$\text{①}$　$0\leqq \theta \leqq \pi$において，$f(\theta )=-1$が成り立つとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．

$\text{②}$　関数$y=f(\theta )$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$の最大値を求めなさい．また，$y=f(\theta )$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$が最大値をとるときの$\sin \theta$の値を求めなさい．

【４】　次の各問に答えなさい．ただし，解答に至るまでの途中経過も解答欄に記入しなさい．

(2)　$a>1$とする．放物線$y=-x(x-a)$と直線$y=-x+a$で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．

$\text{①}$　$S(2)$の値を求めなさい．

$\text{②}$　放物線$y=-x(x-a)\text{，}$直線$y=-x+a$と$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．$S(a)=T(a)$となるような$a$の値を求めなさい．