2024　気象大学校　記述式問題MathJax

【１】　$1$回引くと景品が$1$個当たるくじを考える．景品は全部で$3$種類あり，いずれも${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で当たるものとする．

　くじを$n$回引いて入手した景品が$1$種類，$2$種類，$3$種類である確率をそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$とする$\text{（}n$は自然数）．以下の設問に答えよ．

(1)　$a_1\text{，}$$b_1\text{，}$$c_1$を求めよ．

(2)　$a_2\text{，}$$b_2\text{，}$$c_2$を求めよ．

(3)　$a_3\text{，}$$b_3\text{，}$$c_3$を求めよ．

(4)　$a_{n+1}\text{，}$$b_{n+1}\text{，}$$c_{n+1}$それぞれを$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$のうち必要なものを用いて表せ．

(5)　$a_n\text{，}$$b_n\text{，}$$c_n$を求めよ．

(6)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$を求めよ．

【２】　四面体$\mathrm{OABC}$において，

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$

とする．また，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を含む平面に点$\mathrm{C}$から下ろした垂線の足を点$\mathrm{H}$とする．以下の設問に答えよ．

(1)　$\mathrm{▵OAB}$の面積$S$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$及び$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$を用いて表せ．なお，導出過程も示すこと．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，実数$s\text{，}$$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表す．

(ⅰ)　$s\text{，}$$t$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$及び$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を用いて表せ．

(ⅱ)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\right|}^2$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$及び$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を用いて表すとき，(1)で求めた$S$を用いると

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OH}}\mathit{\right|}}^2={\displaystyle \frac{P}{4S^2}}$

の形に整理することができる．$P$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|$及び$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を用いて表せ．

(ⅲ)　${\left|\overrightarrow{\mathrm{CH}}\right|}^2$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$及び$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$\left|\overrightarrow{a}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|$および$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}$$\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$を用いて表せ．

【３】　自然数$m$に対して

$I_m={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\sin }^{m}x\mathit{dx}$

とし，$0$以上の整数$n$に対して

$f(x)={(x^2-1)}^n$

$P_n(x)={\displaystyle \frac{1}{n!\cdot 2^n}}{f}^{(n)}(x)$

とするとき，以下の設問に答えよ．ただし，$f^{(k)}(x)$は$f(x)$を$k$回微分した関数で，$f^{(0)}(x)=f(x)$とする．

(1)　${\displaystyle \frac{I_{2m+1}}{I_{2m-1}}}$を$m$を用いて表せ．なお，導出過程も示すこと．

(2)　$I_{2m+1}={\displaystyle \frac{2^{2m+1}{(m!)}^2}{(2m+1)!}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$k=0\text{，}$$1\text{，}\cdots \text{，}$$n$に対して

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{x}^k{f}^{(n)}(x)\mathit{dx}={(-1)}^{k}k!{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{f}^{(n-k)}(x)\mathit{dx}$

が成り立つことを示せ．

(4)　$n-1$次以下の全ての多項式$Q(x)$に対して

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{P}_n(x)Q(x)\mathit{dx}=0$

が成り立つことを示せ．

(5)　$0\leqq m\leqq n$を満たす$0$以上の整数$m\text{，}$$n$について，$P_m(x)$の次数に着目して，

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{P}_m(x)P_n(x)\mathit{dx}$

の値を求めよ．