2024　気象大学校　多肢選択式問題MathJax

【１】　$x\text{，}$$y$を実数とする．次の記述の$\text{㋐}\text{，}$$\text{㋑}\text{，}$$\text{㋒}$に当てはまるものをA〜Dから選び出したものの組合せとして正しいのはどれか．

・$x=3$は，$x^2-x-6=0$であるための$\text{㋐}\text{．}$

・$x^3=1$は，$x^{2023}=1$であるための$\text{㋑}\text{．}$

・$x>y$は，$x^4>y^4$であるための$\text{㋒}\text{．}$

A．必要条件であるが十分条件でない

B．十分条件であるが必要条件でない

C．必要十分条件である

D．必要条件でも十分条件でもない

【２】　$2$次関数$y=a{x}^2-6ax+4$$\text{（}-2\leqq x\leqq 4\text{）}$の最大値が$20$であるとき，定数$a$の取り得る値のみを全て挙げたものとして正しいのはどれか．

$\text{1．}1$$\text{2．}1\text{，}-{\displaystyle \frac{16}{9}}$$\text{3．}-{\displaystyle \frac{16}{9}}$$\text{4．}1\text{，}-2$$\text{5．}1\text{，}-2\text{，}-{\displaystyle \frac{16}{9}}$

【３】　三角錐$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$$=\mathrm{AC}$$=\mathrm{BC}$$=3$とする．このとき，三角錐$\mathrm{OABC}$の体積はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$$\text{2．}\sqrt{5}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{3\sqrt{5}}{2}}$$\text{4．}2\sqrt{5}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{2}}$

【４】　ある製品が多数入っている箱がある．その箱の中の製品のうちの$70\mathrm{\%}$は$\mathrm{A}$工場で，$30\mathrm{\%}$は$\mathrm{B}$工場で作られたもので，$\mathrm{A}$工場，$\mathrm{B}$工場で作られた製品には，それぞれ，$3\mathrm{\%}\text{，}$$4\mathrm{\%}$の不合格品が含まれることが分かっている．これらの製品が入っている箱の中から$1$個を取り出して検査を行ったところ，その$1$個が不合格品であったとき，それが$\mathrm{A}$工場で作られた製品である確率はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{3}{250}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{21}{1000}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{33}{1000}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{4}{11}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{7}{11}}$

【５】　$30!=30\times 29\times \cdots \times 2\times 1$を素因数分解して，

$30!=2^m\times 3^n\times \cdots \times 29$

と表すとき，$m$の値はいくらか．

$\text{1．}24$$\text{2．}26$$\text{3．}28$$\text{4．}30$$\text{5．}32$

【６】　図のような三角形$\mathrm{ABC}$の内心$\mathrm{I}$を通り，辺$\mathrm{BC}$に平行な直線と辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{AC}$の交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{AB}=13\text{，}$$\mathrm{AC}=15\text{，}$$\mathrm{AP}={\displaystyle \frac{26}{3}}\text{，}$$\mathrm{AQ}=10$とするとき，$\mathrm{PQ}$の長さはいくらか．

$\text{1．}9$$\text{2．}{\displaystyle \frac{28}{3}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{29}{3}}$$\text{4．}10$$\text{5．}{\displaystyle \frac{31}{3}}$

【７】　$x^{21}$を$x^2-3$で割った余りとして正しいのはどれか．

$\text{1．}{3}^{10}$$\text{2．}{3}^{10}\sqrt{3}$$\text{3．}{3}^{10}x$$\text{4．}{3}^{10}x+3^{10}$$\text{5．}{3}^{10}x+3^{10}\sqrt{3}$

【８】　$a$が全ての実数値をとりながら変化するとき，$2$次関数$y=2x^2-2ax+a+3$のグラフの頂点の軌跡として正しいのはどれか．

$\text{1．}y=-2x^2+2x+3$$\text{2．}$ y=-2x^2+3$$$\text{3．}y=-x^2+3$$\text{4．}$ y=x^2+3$$$\text{5．}y=2x^2-2x+3$

【９】　点$\mathrm{P}$が長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周（端点を含まない）上を動くとし，$\mathrm{\angle PAB}=\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．このとき，${\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{AP}+2\mathrm{BP}$の最大値はいくらか．

$\text{1．}{\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{2}}$$\text{2．}4$$\text{3．}{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{2}}$$\text{4．}5$$\text{5．}5\sqrt{2}$

【10】　${\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{10}$を小数で表すとき，初めて$0$でない数字が現れるのは小数第何位か．ただし，${\log }_{10}2=0.301$とする．

$\text{1．}\text{小数第}5\text{位}$$\text{2．}\text{小数第}6\text{位}$$\text{3．}\text{小数第}7\text{位}$$\text{4．}\text{小数第}8\text{位}$$\text{5．}\text{小数第}9\text{位}$

【11】　$x$についての関数$f(x)={\displaystyle {\int }_2^x}(t^2+2t-8)\mathit{dt}$の極小値はいくらか．

$\text{1．}-{\displaystyle \frac{56}{3}}$$\text{2．}-10$$\text{3．}-{\displaystyle \frac{14}{3}}$$\text{4．}0$$\text{5．}{\displaystyle \frac{14}{3}}$

【12】　次のように定められた数列$\{a_n\}$について，$a_{100}$の値はいくらか．

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{4-a_n}}$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

$\text{1．}{\displaystyle \frac{99}{100}}$$\text{2．}{\displaystyle \frac{101}{100}}$$\text{3．}{\displaystyle \frac{201}{100}}$$\text{4．}{\displaystyle \frac{200}{101}}$$\text{5．}{\displaystyle \frac{201}{101}}$

【13】　$\left|\overrightarrow{a}\right|=5\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}$$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=4\sqrt{2}$であるとき，$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$ $\text{（}t$は定数）の最小値はいくらか．

$\text{1．}4$$\text{2．}6$$\text{3．}8$$\text{4．}10$$\text{5．}12$