2024　防衛医科大学校　医学科

【１】　座標平面上に$2$つの放物線$C_1\text{：}y=x^2+2\text{，}$$C_2\text{：}y=-x^2+ax+b$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）がある．$C_1$と$C_2$が異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を共有し，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$どちらにおいても$C_1$の接線と$C_2$の接線が直交するとする．このとき$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha \text{，}$$\beta$とすると，$\alpha \beta$の値は$\text{1}$ である．さらに，$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた部分の面積が$\sqrt{3}$であるとき，$|ab|$の値は$\text{2}$ である．

$\text{1}$の選択肢

$\text{(1)}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{(2)}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$\text{(3)}1$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$\text{(5)}{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\text{2}$の選択肢

$\text{(1)}4\sqrt{2}$$\text{(2)}4\sqrt{3}$$\text{(3)}5\sqrt{2}$$\text{(4)}5\sqrt{3}$$\text{(5)}6\sqrt{2}$

【２】　正の実数$x$の関数$f(x)=\log x$がある．$y=f(x)$の逆関数を$y=g(x)$とする．また，$h(x)=4x+k$がある．ここで，$k$は実数の定数，$\log x$は自然対数であり，自然対数の底を$e$とする．なお，$2.7<e<2.8$である．また，区間$[1,e]$を$I$とする．ある実数の定数$m$があって，$I$内の全ての$x$に対して$h(x)\geqq m\geqq f(x)$が成り立っているとする．このような$k$のうち最小のものは$\text{3}$ である．

　また，$I$内のある$x$に対して$h(x)\geqq n\geqq g(x)$となる実数の定数$n$が存在するとする．このような$k$のうち最小のものは$\text{4}$ である．

$\text{3}$の選択肢

$\text{(1)}1$$\text{(2)}0$$\text{(3)}-1$$\text{(4)}-2$$\text{(5)}-3$

$\text{4}$の選択肢

$\text{(1)}4+2\log 2$$\text{(2)}4-2\log 2$$\text{(3)}4-4\log 2$$\text{(4)}4-8\log 2$$\text{(5)}4-12\log 2$

【３】　複素平面において，原点$\mathrm{O}$ではない点$\mathrm{P}(z_1)$を$\mathrm{O}$を中心として反時計まわりに${\displaystyle \frac{7}{6}}\pi$だけ回転し，さらに，実軸の正の方向に$2$だけ平行移動した点を$\mathrm{Q}(z_2)$とする．$z_1=a+bi\text{，}$$z_2=b-ai$$\text{（}a\text{，}$$b$は実数）となるような$a$と$b$の組$(a,b)$は$\text{5}$である．また，$(a,b)$がこの組であるとき，$\mathrm{▵POQ}$の内接円の中心を表す複素数は$\text{6}$となる．ここで，$i$は虚数単位である．

$\text{5}$の選択肢

$\text{(1)}(a,b)=(\sqrt{2},1)$$\text{(2)}(a,b)=(\sqrt{3},1)$$\text{(3)}(a,b)=(\sqrt{2},2)$$\text{(4)}(a,b)=(\sqrt{3},2)$$\text{(5)}(a,b)=(2,1)$

$\text{6}$の選択肢

$\text{(1)}{\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}}+{\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}}i$$\text{(2)}{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}}+{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}}i$$\text{(3)}{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}}+{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}}i$$\text{(4)}{\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}}-{\displaystyle \frac{2+\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}}i$$\text{(5)}{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2}}-{\displaystyle \frac{2-\sqrt{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{2}}i$

【４】　整数$n$に対する不定方程式$5x+7y=n$の整数解の組$(x,y)$を考える．$n=141$のとき，$x>0$かつ$y>0$となる整数解の組は全部で$\text{7}$組ある．また$x>0$かつ$y<0$かつ$x-y\leqq 48$となる整数解の組がちょうど$3$組になる$n$のうち最大のものは$\text{8}\text{9}\text{10}$である．

【５】　$\mathrm{\angle A}={\displaystyle \frac{5}{9}}\pi \text{，}$$\mathrm{\angle B}={\displaystyle \frac{5}{18}}\pi \text{，}$$\mathrm{\angle C}={\displaystyle \frac{1}{6}}\pi$の$\mathrm{▵ABC}$において，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{\angle ABD}={\displaystyle \frac{1}{6}}\pi$となる点$\mathrm{D}$をとる．また，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$上に垂線を下ろし，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．${\displaystyle \frac{\tan {\displaystyle \frac{5}{18}}\pi \tan {\displaystyle \frac{7}{18}}\pi }{\tan {\displaystyle \frac{1}{3}}\pi \tan {\displaystyle \frac{4}{9}}\pi }}={\displaystyle \frac{\text{11}}{\text{12}}}$となるため，$\mathrm{\angle CEH}={\displaystyle \frac{\text{13}}{\text{14}}}\pi$である．（分数はそれ以上約分できない形で解答すること．）

【６】　ある科目の授業が週に$1$回あり，$2$人の学生がその授業を受けることになっている．どちらの学生も，独立に$0.8$の確率で授業に出席するものとする．ただし，授業の出席人数が$0$人になったときは，どちらの学生も次の週の授業には独立に$0.9$の確率で出席するものとする．第$1$回目の授業に出席する確率はどちらも$0.8$である．第$n$回目の授業の出席人数が$0$人である確率を$a_n$とする$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots \text{）．}$このとき，$a_2$の値は${\displaystyle \frac{\text{15}\text{16}}{\text{17}\text{18}\text{19}\text{20}}}$である．また，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の値は${\displaystyle \frac{\text{21}}{\text{22}\text{23}\text{24}}}$である．（分数はそれ以上約分できない形で解答すること．）

【７】　座標平面上に点$\mathrm{A}$$(1,0)$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，$0$より大きい整数$n$に対して点${\mathrm{P}}_k$の座標を$(0,{\displaystyle \frac{k}{n}})$とする$\text{（}k=1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n\text{）．}$このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{A}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k$の外接円の面積を$b_k$としたとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{n=1}^n}{\displaystyle \frac{b_k}{n}}$はいくらか．

(2)(ⅰ)　実数$x$について，$\sqrt{x^2+1}+x=t$とおいたとき，$\sqrt{x^2+1}$を$t$で表せ．

(ⅱ)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{x^2+1}\mathit{dx}$の値を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵}\mathrm{A}\mathrm{O}{\mathrm{P}}_k$の内接円の半径を$c_k$としたとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{c_k}{n}}$はいくらか．