2024　福岡大学　推薦理,工,薬,医(医)学部

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$2$次方程式$2x^2+3x-1=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}$$\beta$とするとき，$({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}-1)({\displaystyle \frac{1}{\beta }}-1)$の値は$\text{(1)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{AC}=7\text{，}$$\mathrm{BC}=6$のとき，線分$\mathrm{AD}$の長さは$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{2x^2-5x-3}{x^2+1}}$の最大値は$\text{(3)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　$1$個のさいころを$n$回投げて少なくとも$1$回は$3$の倍数の目が出る確率を$P_n$とするとき，$P_n\geqq 0.97$をみたす$n$の最小値は$\text{(4)}$である．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　$3$次の整式$f(x)$を$x-2$で割った商が$g(x)$で，余りが$6$であるとすると，関数$y=g(x)$のグラフは原点を頂点とし，点$(2,8)$を通る放物線である．曲線$C\text{：}y=f(x)$上の点$(2,f(2))$における曲線$C$の接線を$l\text{，}$曲線$C$上の点$(0,f(0))$における曲線$C$の接線を$m$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$2$接線$l\text{，}$$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と接線$l$で囲まれた部分の面積を$L\text{，}$曲線$C$と接線$m$で囲まれた部分の面積を$M$とするとき，${\displaystyle \frac{L}{M}}$を求めよ．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\sin \alpha +\cos \beta ={\displaystyle \frac{1}{7}}\text{，}$$\cos \alpha +\sin \beta ={\displaystyle \frac{3}{7}}$のとき，$\sin (\alpha +\beta )$の値は$\text{(3)}$である．

【２】　放物線$C\text{：}y=x^2-2x+3$上の点$\mathrm{P}$$(3,6)$における放物線$C$の接線を$l$とし，接線$l$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，点$\mathrm{Q}$から放物線$C$に引いた$2$本の接線のうち接線$l$とは異なる接線を$m$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　接線$l\text{，}$および接線$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　接線$l\text{，}$接線$m\text{，}$および放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,9)$を通る円と曲線$y=x^2$の共有点のうち，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$のいずれとも異なる点の座標は$\text{(1)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，関数$y=3\cos x+2\sin x$のとりうる値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅳ)　$a$を定数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{4x+a}{x^2+1}}$について，点$(2-\sqrt{3},f(2-\sqrt{3}))$が曲線$y=f(x)$の変曲点であるとき，$a$の値は$\text{(4)}$である．

【２】 　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{4\log x-1}{x^3}}$上の点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$l$が原点を通るとき，次の問に答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(ⅰ)　接線$l$の方程式と，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C\text{，}$接線$l\text{，}$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．