2024　福岡大学　前期理系2月11日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a\text{，}$$b$を定数とする．$4$次方程式$x^4+x^3+a{x}^2+bx-3=0$は$-1$と$1$を解にもつとする．このとき$a\text{，}$$b$の値は$(a,b)=\text{(1)}$である．またこの方程式の他の解を求めると$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=5\text{，}$$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=16\text{，}$$\mathrm{BD}=19$であるとき，$\cos \mathrm{\angle BAD}=\text{(3)}$であり，$\mathrm{CD}=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　袋$\mathrm{A}$には白玉が$3$個と赤玉が$7$個入っており，袋$\mathrm{B}$には白玉が$7$個と赤玉が$5$個入っている．袋$\mathrm{A}$と袋$\mathrm{B}$からそれぞれ$1$個ずつ玉を取り出すとき，$2$個とも赤玉である確率は$\text{(5)}$である．また取り出した玉が白玉と赤玉$1$個ずつであったとき，その赤玉が袋$\mathrm{A}$から取り出されたものである条件付き確率は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　方程式$x^{{\log }_{3}x}=81x^3$を解くと$x=\text{(1)}$である．

　また$x+y=9$のときの${\log }_{7}x+2{\log }_{7}y$の最大値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　和${\displaystyle \sum _{k=1}^9}{\displaystyle \frac{1}{k(k+2)}}$を既約分数で表すと$\text{(3)}$である．

　また条件$a_1=3\text{，}$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+3)}}={\displaystyle \frac{a_n+1}{n(n+2)}}$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定まる数列$\{a_n\}$について，$a_{10}$を既約分数で表すと$\text{(4)}$である．

【３】　$a$を正の定数とする．曲線$C\text{：}y=x^2\sqrt{a-x}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$と直線$y=k$が異なる$3$つの共有点をもつとき，定数$k$の値の範囲を$a$を用いて表せ．

(ⅱ)　$a=7$のとき，曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$a$を定数とする．$2$曲線$C_1\text{：}y=x^3-5x^2+1\text{，}$$C_2\text{：}y=-2x^2+a$について，曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}$における接線が同じ点$\mathrm{P}$で曲線$C_2$にも接するとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$の$y$座標が負のとき，$2$曲線$C_1\text{，}$$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．