2024　福岡大学　前期工学部2月6日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$m$を正の実数とする．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，円$C\text{：}{x}^2+y^2=1$の中心と直線$l\text{：}y=x+m$の距離は${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．このとき$m$の値は$\text{(1)}$である．また円$C$と直線$l$の共有点のうち第$1$象限にあるものを$\mathrm{A}$とし，点$\mathrm{A}$における円$C$の接線と$y$軸の交点を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{▵OAB}$の面積は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$1$等を$1$本，$2$等を$2$本含む$50$本のくじを$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人がこの順に$1$本ずつ引く．ただし，引いたくじはもとにもどさない．このとき$\mathrm{C}$が$1$等のくじを引く確率は$\text{(3)}$である．また$\mathrm{B}$が$2$等のくじを引き，かつ$\mathrm{C}$が$1$等のくじを引く確率は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{▵ABC}$において$\mathrm{AB}=4\text{，}$$\mathrm{AC}=x\text{，}$$\mathrm{BC}=8-x$とする．このとき$\cos A$の値を$x$を用いて表すと$\text{(5)}$である．また$\mathrm{▵ABC}$の面積が$\sqrt{21}$となるような$x$の値をすべて求めると$x=\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$を条件$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2{a_n}^2$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定め，条件$b_n={\log }_2{a}_n$によって数列$\{b_n\}$を定める．このとき数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{(1)}$である．また$a_n>2^{2024}$をみたす最小の$n$は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }(3n+1-\sqrt{3n+1}\sqrt{3n})$を求めると$\text{(3)}$である．また極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{n}{3n^2+k^2}}$を求めると$\text{(4)}$である．

【３】　曲線$C\text{：}y=9x^{\frac{1}{3}}-4x^{\frac{1}{2}}-5x$$\text{（}x\geqq 0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　$y\geqq 0$をみたす$x$の値の範囲を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．