2024　福岡大学　前期工学部2月5日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$点$(1,5)\text{，}$$(4,2)\text{，}$$(1,-1)$を通る円の方程式は$\text{(1)}$であり，この円と直線$y=mx-2$が共有点をもつような$m$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　空間のベクトル$\overrightarrow{p}=(-2,1,3)$に対し，空間のベクトル$\overrightarrow{q}$は$|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=3$を満たすとする．$\left|\overrightarrow{q}\right|=a$とおくとき，内積$\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}$の値を$a$を用いて表すと$\text{(3)}$である．また$t$を実数として$|\overrightarrow{p}+t\overrightarrow{q}|$の値を最小にする$t$の値が${\displaystyle \frac{7}{4}}$となるときの$a$の値は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　袋に赤玉$6$個と白玉$4$個が入っている．袋から玉を$1$個取り出し，取り出した玉が赤玉であれば赤玉を戻さずに白玉を$1$個袋に入れ，取り出した玉が白玉であれば白玉を戻さずに赤玉を$1$個袋に入れる．この試行を$3$回行うとき，袋の中に赤玉と白玉が$5$個ずつ入っている確率は$\text{(5)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$\pi \leqq \alpha <{\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$とする．$\sin \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}}$のとき$\cos {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$の値は$\text{(1)}$である．

　また$0\leqq \theta \leqq \pi$のとき方程式$\cos 2\theta +2\sin \theta =a$が解をもつ定数$a$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　 $i$を虚数単位とし，$z={\displaystyle \frac{(\cos {\displaystyle \frac{5}{36}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{5}{36}}\pi )(\cos {\displaystyle \frac{7}{36}}\pi +i\sin {\displaystyle \frac{7}{36}}\pi )}{\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}}}$とするとき，$z=x+yi$をみたす実数$x\text{，}$$y$の値は$(x,y)=\text{(3)}$である．また複素数平面上で$z$が表す点を$\mathrm{A}$とするとき，点$\mathrm{A}$を原点を中心として${\displaystyle \frac{7}{12}}\pi$だけ回転した点を表す複素数は$\text{(4)}$である．

【３】　座標平面上の曲線$C\text{：}y=x{e}^{-2x}$について次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　曲線$C$の変曲点を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$の変曲点における接線，曲線$C\text{，}$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．