2024　福岡大学　前期文系2月5日実施

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a$を定数とする．関数$f(x)=x^2-4x+a$について，放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$a$を用いて表すと$\text{(1)}$である．また，$1\leqq x\leqq 5$における$f(x)$の最大値が$8$のとき，$a$の値は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　整式$x^3+(a-2)x^2-4a$を$x-2$で割ったときの商は$\text{(3)}$である．また，$x$の方程式$x^3+(a-2)x^2-4a=0$が$2$重解をもつとき，定数$a$の値をすべて求めると$a=\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$つの出た目の積が$3$の倍数となる確率は$\text{(5)}$であり，$3$つの出た目の積が$9$の倍数となる確率は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　関数$y=(\sin \theta +3\cos \theta )(\sin \theta -\cos \theta )$$(0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$を$y=\sin 2\theta$$+a\cos 2\theta +b$の形に変形したとき，$(a,b)=\text{(1)}$であり，$y$の最大値は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$$(1,3)$を通り，円$\mathrm{O}\text{：}{x}^2+y^2=5$に接する$2$本の直線の方程式は$\text{(3)}$であり，それらの接点をそれぞれ$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とするとき，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{(4)}$である．

【３】　放物線$C\text{：}y=-x^2+2x$上の点$\mathrm{O}$$(0,0)$における$C$の接線を$l\text{，}$$\mathrm{O}$を通り接線$l$に垂直な直線を$m$とする．このとき，次の問に答えよ．

(ⅰ)　直線$m$の方程式を求めよ．

(ⅱ)　放物線$C$と直線$m$の交点のうち，$\mathrm{O}$とは異なる点を$\mathrm{A}$とし，$C$の頂点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る直線と放物線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．