2024　福岡大学　前期理学部2月3日実施MathJax

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　不等式$|x-2|<3$を満たす整数$x$は全部で$\text{(1)}$個ある．また$a$を正の定数とするとき，不等式$|x-2|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような$a$の値の範囲は$\text{(2)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　直線$l\text{：}3x-4y-a=0$と直線$bx+(b+1)y+3=0$が垂直であるとき，定数$b$の値は$\text{(3)}$である．またこの直線$l$と円${(x-1)}^2+{(y+1)}^2=4$が異なる$2$点で交わるような定数$a$の値の範囲は$\text{(4)}$である．

【１】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}\text{，}$$\mathrm{G}$の$7$人が引き分けのない試合を行う．$7$人それぞれが自分以外の$6$人と対戦し，$1$人$6$試合ずつ行う．$\mathrm{A}$は自分以外の$6$人それぞれに対して${\displaystyle \frac{3}{4}}$の確率で勝つとし，$\mathrm{A}$を除く$6$人どうしの試合ではどちらが勝つ確率も${\displaystyle \frac{1}{2}}$であるとする．このとき$\mathrm{A}$が$4$勝$2$敗である確率は$\text{(5)}$である．また$\mathrm{B}$が$4$勝$2$敗である確率は$\text{(6)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$3$点$\mathrm{A}$$(3,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,4,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,6)$の定める平面上に点$\mathrm{D}$$(x,6,1)$があるとき，$x$の値は$\text{(1)}$である．また$2$直線$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{BD}$の交点の座標は$\text{(2)}$である．

【２】　次の$$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$t=\cos \theta -\sin \theta$として，$\cos \theta \sin \theta$を$t$の式で表すと$\text{(3)}$であり，${\cos }^5\theta -{\sin }^5\theta$を$t$の式で表すと$\text{(4)}$である．

【３】　関数$f(x)=x^2{e}^{x^3}$について，次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　関数$f(x)$の極大値$M$を求めよ．

(ⅱ)　$M$を(ⅰ)で求めた値とするとき，曲線$y=f(x)$$\text{（}x\leqq 0\text{），}$$y$軸，および直線$y=M$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^3-3x^2+2x$と直線$l\text{：}y=ax$$\text{（}a>0\text{）}$について，次の問に答えよ．

(ⅰ)　曲線$C$と直線$l$がちょうど$2$つの共有点をもつような$a$の値を求めよ．

(ⅱ)　$a$が(ⅰ)で求めた値のとき，曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分の面積を求めよ．