2024　西南学院大学　神,外国語,国際文化学部

【１】

1.　$a$を$0$ではない実数の定数とする．$2$つの$2$次方程式$a{x}^2-5x+a=0\text{，}$$x^2-2ax+a+6=0$のうち，少なくとも一方の方程式が虚数解をもつとき，$a$のとりうる値の範囲は，$a<{\displaystyle \frac{\text{アイ}}{\text{ウ}}}\text{，}$$\text{エオ}<a<\text{カ}\text{，}$$\text{キ}<a$となる．

【１】

2.　以下の表は，テストに関する$5$人の生徒の得点を表したものである．テストの得点を変量$x$として，新たな変量$y$を$y={\displaystyle \frac{x-6}{\sqrt{2}}}$と定義する．変量$y$の平均値は$\text{ク}\text{，}$分散は$\text{ケ}$となる．

【１】

3.　$n$を自然数とする．$120n$がある自然数の平方となるような$n$のうち，最小のものは$\text{コサ}$である．このとき，$120n$の正の約数について個数は$\text{シス}$個であり，総和は${31}^2\times \text{セソ}$である．

【２】

1.　あるゲームを$1$回行うと，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で$2$点，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$-3$点の点数が与えられる．以下の問に答えよ．

(1)　同じゲームを$5$回行うとき，点数の合計が$0$点となる確率は${\displaystyle \frac{\text{タチ}}{\text{ツテト}}}$である．

(2)　ゲームを行うたびにその回までの点数を合計して，合計した点数が負になると，次回のゲームが行えなくなるものとする．$5$回目のゲームを行うことができる確率は${\displaystyle \frac{\text{ナニ}}{\text{ヌネ}}}$である．

【２】

2.　$4$点$\mathrm{O}$$(0,0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(2,0,4)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,1,5)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,1,x)$が同一平面上にあるとき，以下の問に答えよ．

(1)　$x$の値は$\text{ノ}$である．

(2)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の値は$\text{ハ}$である．

(3)　四角形$\mathrm{OABC}$の面積は$\text{ヒ}\sqrt{\text{フ}}$である．

【３】　自然数$n=1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots$について，自然数の有限集合$A_n\text{，}$$B_n$と自然数$a_n$を，(ⅰ)，(ⅱ)のように定義する．

(ⅰ)　$A_n$に属する要素のうち最大の自然数を$a_n$とする．

　$A_n$に属する要素すべてに自然数$2a_n+1$を足して得られる集合を$B_n$とし，$A_{n+1}=A_n\cup B_n$とする．

　$A_{n+1}$に属する要素のうち最大の自然数を$a_{n+1}$とする．

(ⅱ)　$A_1=\{1\}\text{，}$$a_1=1$とする．

以下の問に答えよ．

(1)　$a_3$を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　$300$以下の自然数の集合を$Z$とする．$A_n\subset Z$となる最大の$n$を求めよ．