2024　産業医科大学　推薦医学部

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問１)　次の文章を読み$\text{ア}\text{〜}$$\text{サ}$に入る整数を記入しなさい．

　ある町の住人は$100$人である．近年，新型コロナウイルスの感染が広がっており，今日は住民$100$人のうち新型コロナウイルスに感染している人（感染者）は$10$人であった．住民全体のうち，マスクをつけている人の人数を$a$[人]とする．感染していない人（非感染者）はマスクをつけていてもつけていなくても感染のしやすさ（新たに感染するかどうか）に違いはないものとする．また，感染者と非感染者でマスクをつけている割合は変わらないものとする．たとえば全体で$60\mathrm{\%}$の人がマスクをつけている場合，感染者も非感染者も$60\mathrm{\%}$がマスクをつけていることになる．

　$1$人の感染者が新たに感染させる人数を再生産率と呼ぶ．マスクをつけていない人の再生産率を$6\text{，}$マスクをつけている人の再生産率を$1$とする．複数の感染者がいる場合，それぞれの感染者は別の人に感染させるものとする．また，マスクをつけている割合は翌日もかわらないものとし，今日感染している人は$1$日では治癒しないため翌日も感染者として扱うものとする．

　感染対策として，住民には経済的な負担が生じる．感染者は$1$人あたり$100$円の治療費が発生する．非感染者にも感染者の治療を支援するため，非感染者$1$人あたり，感染者数に$20$円を乗じた額の費用が発生する．$1$日分のマスクの価格は1人あたり$10$円である．

・マスクをつけている感染者から新たに感染する人数$L$[人]を$a$であらわすと，

$L={\displaystyle \frac{a}{\text{ア}}}\times \text{イ}\times 10$

・マスクをつけていない感染者から新たに感染する人数$M$[人]を$a$であらわすと，

$M={\displaystyle \frac{\text{ア}-a}{\text{ア}}}\times \text{ウ}\times 10$

で求めることができる．したがって，翌日の感染者数$N$[人]を$a$であらわすと，

$N=10+L+M=-{\displaystyle \frac{a}{2}}+\text{エ}$

で求めることができる．

　次に翌日の感染者数をもとにした住民全体の負担額を求める．

・町全体での$1$日分のマスク代を$X$[円]とすると，

$X=\text{オ}\times a$

・感染者の治療費を$Y$[円]とすると，

$Y=\text{カ}\times N$

・非感染者が治療を支援するための費用の総額を$Z$[円]とすると，

$Z=\text{キ}\times N\times (100-N)$

であり，翌日の感染者数をもとにした住民全体の負担額$E=X+Y+Z$[円]は$a$についての二次方程式となり，

$E=\text{ク}{a}^2+\text{ケ}a+\text{コ}$

で求めることができる．したがって，住民全員がマスクをつけない場合，住民全体の負担額$E=\text{コ}$[円]となる．$\text{サ}$[人]以上がマスクをつけると，$E$は$\text{コ}$よりも小さくなる．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問２)　$40$人に$1$人がかかる病気$\mathrm{A}$がある．すなわち，この病気$\mathrm{A}$に罹患する確率は${\displaystyle \frac{1}{40}}$である．病気$\mathrm{A}$の罹患を判定する検査$\mathrm{B}$があるが，検査$\mathrm{B}$では「病気$\mathrm{A}$に罹患していないのに陽性と判定してしまう確率」と「病気$\mathrm{A}$に罹患しているのに陰性と判定してしまう確率」はともに${\displaystyle \frac{1}{10}}$である．ある人が検査$\mathrm{B}$にて陽性と判定されたとき，本当に病気$\mathrm{A}$に罹患している条件付き確率は$\text{シ}$である．$\text{シ}$を既約分数で示しなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問３)　三角錐$\mathrm{OABC}$において，三角形$\mathrm{OBC}$と三角形$\mathrm{OAC}$は合同で，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1\text{，}$$\mathrm{OC}=\sqrt{3}\text{，}$$\mathrm{AB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}=2$であり，三角形$\mathrm{ABC}$は二等辺三角形である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$をおろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$であらわすと，$\text{ス}\overrightarrow{a}+\text{セ}\overrightarrow{b}+\text{ソ}\overrightarrow{c}$となる．$\text{ス}\text{〜}$$\text{ソ}$を既約分数で示しなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問４)　点$\mathrm{O}$を中心とする円$\mathrm{O}$の円周上に$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がこの順にあり，

$\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{CD}={\displaystyle \frac{3}{2}}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{BD}={\displaystyle \frac{3}{2}}(\sqrt{6}+\sqrt{2})\text{，}$$\mathrm{AC}=3\sqrt{3}$

であるとする．

　円$\mathrm{O}$の半径$\text{タ}$を求めなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問５)　$a\text{，}$$b$は実数とする．整式$f(x)$と$g(x)$をそれぞれ$f(x)=x^4+6x^3+a{x}^2-bx-a-1\text{，}$$g(x)=x^2+2x+1$とする．$f(x)$が$g(x)$で割り切れる場合，$a+b$の値$\text{チ}$を求めなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問６)　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$が正の数であり，$x+y+z=1$であるとき，${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{9}{y}}+{\displaystyle \frac{25}{z}}$の最小値は$\text{ツ}$であり，そのときの$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の組み合わせは$x=\text{テ}\text{，}$$y=\text{ト}\text{，}$$z=\text{ナ}$である．$\text{ツ}\text{〜}$$\text{ナ}$に入る整数または既約分数を求めなさい．

【３】　以下の設問（問１〜問７）に答えなさい．

問７)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}\sqrt{3-x^2+2x}\mathit{dx}$の値$\text{ニ}$を求めなさい．