2024　関西学院大　社会,法学部個別日程2月7日実施

(1)　$k$を負の実数とし，$x$の$2$次方程式$x^2+(k+1)x+k^2+k-1=0$は実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．

(ⅰ)　$\alpha =\beta$のとき，$k=\text{ア}$である．また，$\alpha \leqq 0\leqq \beta$であるとき，$k$の最小値は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　$-1<\alpha \leqq \beta <1$であるとき，$k$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．

(2)　$1$つのさいころを$4$回投げるゲームを行う．このゲームでは，さいころを$1$回投げるごとに$3$の倍数の目が出れば持ち点に$2$点を加え，それ以外の目が出れば持ち点から$1$点を引くとする．ただし，はじめの持ち点は$0$点とする．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　ゲーム後の持ち点が$2$点である確率は$\text{エ}$であり，ゲーム後の持ち点が奇数となる確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　ゲーム後の持ち点が$0$点以下である確率は$\text{カ}$である．また，ゲーム後の持ち点が$0$点以下であったとき，途中で持ち点が正となる条件付き確率は$\text{キ}$である．

(1)　$a$を実数とし，$x$の方程式$4^x-3\cdot 2^{x+1}-a=0$$\cdots \text{①}$を考える．

(ⅰ)　$a=3$のとき，方程式$\text{①}$の解は，$x=\text{ア}$である．

(ⅱ)　方程式$\text{①}$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとする．$a$の取りうる値の範囲は$\text{イ}$であり，$a$が$\text{イ}$を満たす最大の整数であるとき，$\alpha +\beta =\text{ウ}$である．

(2)　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}$$\mathrm{B}(0,0,2)\text{，}$$\mathrm{C}(2,-1,1)\text{，}$$\mathrm{P}(1,1,1)$をとる．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\text{エ}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$t$を実数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とおく．点$\mathrm{H}$が平面$\mathrm{ABC}$上にあるとき，$t=\text{カ}$である．また，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{キ}$である．

(1)　$b$の値を求めよ．

(2)　$y$を$x$を用いて表した式$f(x)$を求めよ．

(3)　$y$の最大値，最小値とそのときの$t$の値を求めよ．

(4)　(2)で求めた式$f(x)$から曲線$C\text{：}y=f(x)$$\text{（}a\leqq x\leqq b\text{）}$を考える．このとき，曲線$C$と$2$点$(a,f(a))\text{，}$$(b,f(b))$を通る直線で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．