2024　関西学院大　文系共通テスト併用2月5日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$k$は実数とし，$x$の関数$y=x^2+2x-4\left|x\right|+k$$\cdots \text{①}$を考える．

(ⅰ)　$k=0$のとき，関数$\text{①}$の最小値は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　方程式$y=0$が異なる$4$つの実数解をもつとき，$k$の取りうる値の範囲は$\text{イ}$である．このとき，$2$番目に小さい解を$\alpha$とすると，$\alpha$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　動点$\mathrm{P}$が右の図のような正八面体$\mathrm{OABCDE}$の頂点$\mathrm{O}$から出発して，正八面体の辺上を動くものとする．点$\mathrm{P}$がある頂点にあるとき，$1$秒後にはその頂点と$1$辺で結ばれた頂点のいずれか$1$つに等しい確率で移動していく．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$2$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{O}$にある確率は$\text{エ}$であり，$3$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{O}$にある確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$4$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{O}$にある確率は$\text{カ}$である．このとき，点$\mathrm{P}$が同じ辺を通過しなかった条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$2$つの関数$f(\theta )\text{，}$$g(\theta )$をそれぞれ

$f(\theta )={(3\sin \theta +\cos \theta )}^2$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{），}$

$g(\theta )=f(\theta )-{\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta$$\text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$

とする．

(ⅰ)　$f(\theta )$を$\sin 2\theta \text{，}$$\cos 2\theta$を用いて表すと，$f(\theta )=\text{ア}$である．

(ⅱ)　$g(\theta )$の最大値は$\text{イ}$である．また，$g(\theta )=9$となるような$\theta$の値の総和は$\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とする正四角錐$\mathrm{OABCD}$において，各辺の長さは$1$であるとする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\text{エ}$である．また，内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\text{オ}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{▵OCD}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\text{カ}$であり，線分$\mathrm{AG}$の長さは$\text{キ}$である．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を実数とする．$x$の関数$f(x)=a{x}^3+bx+c$は，$f(-1)=f(1)$$=3f^{\prime }(-1)=3$を満たす．また，点$\mathrm{A}(1,3)$における曲線$C\text{：}y=f(x)$の接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の値を求めよ．また，曲線$C$と$x$軸の共有点の$x$座標を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　円$K\text{：}{x}^2+y^2+px+q=0$が接線$l$と点$\mathrm{A}$で接するとき，定数$p\text{，}$$q$の値を求めよ．

(4)　$p\text{，}$$q$を(3)で求めた値とするとき，曲線$C$と，(3)の円$K$および$x$軸で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．