2024　関西学院大　経済，国際，総合政策学部個別日程2月4日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を正の実数とし，$2$次関数$f(x)$を$f(x)=-x^2+ax-a-1$とする．

(ⅰ)　$a=3$のとき，$f(x)$の最大値は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　放物線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と，異なる$2$点で交わるとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{イ}$である．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq 3$における$f(x)$の最大値が$3$となるとき，$a$の値は$\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$n$を自然数とし，$4^n\text{，}$$7^n$を$100$で割った余りをそれぞれ$a_n\text{，}$$b_n$とする．

(ⅰ)　$a_5=\text{エ}$である．また，$k$を$0$以上の整数とする．$a_n+b_n$は$n=\text{オ}k+\text{カ}$のとき，最大値$\text{キ}$をとる．ただし，$\text{オ}\text{，}$$\text{カ}$は自然数で答えよ．

(ⅱ)　$a_n-b_n$の最小値は$\text{ク}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　関数$y={\log }_8(64x^3)+{\log }_{\sqrt{2x}}2$$(x>{\displaystyle \frac{1}{2}})$を考える．

(ⅰ)　$x=2$のとき，$y=\text{ア}$である．

(ⅱ)　$t={\log }_{2}x$とおく．$y$を$t$を用いて表すと，$y=\text{イ}$である．

(ⅲ)　$x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，$y$の最小値は$\text{ウ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=5\text{，}$$\mathrm{AB}=4\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{BO}=7$とする．また，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{OB}$に引いた垂線と辺$\mathrm{OB}$の交点を$\mathrm{H}$とする．さらに，線分$\mathrm{BM}\text{，}$$\mathrm{AH}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{エ}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\text{オ}\overrightarrow{b}$である．

(ⅱ)　$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\text{カ}$である．また，$\mathrm{▵ABD}$の面積は$\text{キ}$である．

【３】　$a$を負の実数とし，関数$f(x)$を$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}a{x}^2$$-2a^{2}x$$-6a^2-{\displaystyle \frac{3}{8}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$が$x$軸に接するとき，$a$の値を求めよ．

(3)　$a$を(2)で求めた値とする．このとき，点$(1,f(1))$における曲線$y=f(x)$の接線$l$と曲線$y=f(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．