2024　関西学院大　文,法学部2月3日実施

(1)　$a={\displaystyle \frac{{(\sqrt{2}+\sqrt{5})}^2-7-\sqrt{10}}{3\sqrt{2}-4+2\sqrt{2}|1-\sqrt{2}|}}$とし，$a$の整数部分を$b\text{，}$小数部分を$c$とする．

(ⅰ)　$c=\text{ア}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{ab}{c{(c+2)}^2}}=\text{イ}\text{，}$$c^4-{\displaystyle \frac{1}{c^4}}=\text{ウ}$である．

ただし，$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}\text{，}$$\text{ウ}$はすべて分母を有理化した数値で答えよ．

(2)　赤玉が$6$個，白玉が$2$個，黒玉が$1$個，合計$9$個の玉があり，これらすべての玉を横一列に並べる．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　両端が赤玉になる確率は$\text{エ}$である．また，白玉が隣り合う確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$2$個の白玉の間に黒玉がくる確率は$\text{カ}$である．ただし，白玉と黒玉の間に赤玉が並んでいる場合も含む．また，このとき，$9$個の玉の中央が黒玉である条件付き確率は$\text{キ}$である．

(1)　$a$を負の実数とし，方程式$x^2+y^2+2ax+4ay=10a+5$が表す円を$C$とする．

(ⅰ)　円$C$が原点を通るとき，円$C$の中心の座標は$\text{ア}$である．

(ⅱ)　円$C$は$a$の値にかかわらず点$\text{イ}$を通る．また，円$C$が直線$y=2x+5$と接するとき，$a=\text{ウ}$である．

ただし，$\text{ア}\text{，}$$\text{イ}$は$(p,q)$の形で答えよ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}$$\{b_n\}$を，$a_1=1\text{，}$$b_1=0\text{，}$$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{5}{2}}{b}_n\text{，}$$b_{n+1}={\displaystyle \frac{5}{2}}{a}_n+{\displaystyle \frac{1}{2}}{b}_n$$\text{（}n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$\cdots \text{）}$で定める．

(ⅰ)　数列$\{a_n+b_n\}$の一般項は，$a_n+b_n=\text{エ}$である．また，数列$\{a_n-b_n\}$の一般項は，$a_n-b_n=\text{オ}$である．

(ⅱ)　数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=\text{カ}$である．また，$a_n\geqq 2024$を満たす最小の自然数$n$は$n=\text{キ}$である．

$f(x)=x^3+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{x}^{2}f(t)\mathit{dt}$$+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}x{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}$$+{\displaystyle {\int }_0^1}\{t{f}^{\prime }(t)-{\displaystyle \frac{5}{4}}\}\mathit{dt}$

が成り立つとする．また，$a={\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)\mathit{dt}\text{，}$$b={\displaystyle {\int }_{-1}^1}{f}^{\prime }(t)\mathit{dt}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)$を$x\text{，}$$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(2)　$c={\displaystyle {\int }_0^1}\{t{f}^{\prime }(t)-{\displaystyle \frac{5}{4}}\}\mathit{dt}$とおくとき，$c$を$a\text{，}$$b$を用いて表せ．

(3)　関数$f(x)$を求めよ．

(4)　関数$f(x)$の極大値と極小値の差を求めよ．