2024　関西学院大　文系学部全学日程2月2日実施

(1)　$a$を実数とし，座標平面上の放物線$y=x^2+2ax+3a^2-8a$を$C$とする．放物線$C$は$x$軸と異なる$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交わっているとする．

(ⅰ)　$a$の取りうる値の範囲は$\text{ア}$であり，${\mathrm{PQ}}^2$を$a$を用いて表すと，${\mathrm{PQ}}^2=\text{イ}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{PQ}$は$a=\text{ウ}$のとき最大値をとる．また，$a=\text{ウ}$のとき，放物線$C$を，$x$軸方向に$3\text{，}$$y$軸方向に$\text{エ}$だけ平行移動した放物線は原点を通る．

(2)　袋の中に$0\text{，}$$1\text{，}$$2$が書かれた白玉が$2$個ずつ，$0\text{，}$$1$が書かれた赤玉が$1$個ずつ，合計$8$個の玉が入っている．この袋から同時に$3$個の玉を取り出し，次の規則によって得点$X$を定める．

【規則】

Ⅰ　赤玉を少なくとも$1$個取り出した場合，取り出された$3$個の玉に書かれた数の積を$X$とする．

Ⅱ　赤玉を取り出さなかった場合，取り出された$3$個の玉に書かれた数の最大値を$X$とする．

なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$X=4$となる確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$X=2$となる確率は$\text{カ}$である．また，赤玉を少なくとも$1$個取り出したとき，$X=2$となる条件付き確率は$\text{キ}$である．

(1)　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,4)\text{，}$$\mathrm{B}(2,6)$があり，$3$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通る円を$C$とする．また，直線$\mathrm{AB}$に関して円$C$と対称な円を$K$とする．ただし，直線に関して対称な円とは，円の中心が直線に関して対称で，半径が等しい円のことをいう．

(ⅰ)　円$C$の中心の座標は$\text{ア}$である．また，円$K$の方程式は$\text{イ}=0$である．

(ⅱ)　円$K$およびその内部と直線$\mathrm{AB}$の上側の部分の共通部分を$D$とする．ただし，境界線を含む．点$(x,y)$が領域$D$内を動くとき，$y-3x$の最小値は$\text{ウ}\text{，}$最大値は$\text{エ}$である．

(2)　$\mathrm{▵OAB}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}=135\mathrm{°}$とし，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．

(ⅰ)　内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\text{オ}$である．また，$\mathrm{OC}=\text{カ}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{C}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を引き，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，$\mathrm{OH}=\text{キ}$である．

(1)　関数$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$D\text{：}y=3{(x-2a)}^2$が点$\mathrm{A}$を通るとする．このとき，$a$の値を求めよ．

(4)　$a$を(3)で求めた値とする．曲線$C$と直線$l$で囲まれた部分のうち，$x$軸より上側の部分の面積を$S$とし，(3)の曲線$D$の$a\leqq x\leqq 2a$の部分，直線$l$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$S\text{，}$$T$を求めよ．