2024　関西学院大　理工学部全学日程

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　等式${\displaystyle \frac{6x}{x^3+8}}={\displaystyle \frac{A}{x+2}}+{\displaystyle \frac{x+B}{x^2+Cx+4}}$が恒等式となるように定数$A\text{，}$$B\text{，}$$C$の値を定めると，$A=\text{ア}\text{，}$$B=\text{イ}\text{，}$$C=\text{ウ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードから$4$枚のカードを取り出す．

(ⅰ)　取り出した$4$枚のカードに書かれた数字がすべて$7$以下である確率は$\text{エ}$である．

(ⅱ)　取り出した$4$枚のカードの中に$8$と書かれたカードがある確率は$\text{オ}$である．

(ⅲ)　取り出した$4$枚のカードに書かれた数字の和が$12$以下である確率は$\text{カ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(3)　数列$\{a_n\}$は等差数列で，$a_3=1\text{，}$$a_8=3$であるとする．このとき，数列$\{a_n\}$の公差は$\text{キ}$であり，一般項$a_n$を$n$の式で表すと$a_n=\text{ク}$である．また，初項から第$n$項までの和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を$n$の式で表すと${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k=\text{ケ}$であり，$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}k{a}_k$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S_n}{n^3}}=\text{コ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　${\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$であるから，$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{12}}=\text{ア}\text{，}$$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{12}}=\text{イ}$である．$\tan \theta \sin 2\theta$を$\cos 2\theta$の式で表すと$\tan \theta \sin 2\theta =\text{ウ}$であり，$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{24}}$とおけば$\tan {\displaystyle \frac{\pi }{24}}=\text{エ}$である．また，半径$1$の円に外接する正二十四角形の面積は$\text{オ}$である．

(2)　$\cos \theta =x$とおく．

(ⅰ)　$\cos 3\theta$を$x$の式で表すと$\cos 3\theta =\text{カ}$である．また，$\sin 3\theta$を$x$の式と$\sin \theta$の積で表すと$\sin 3\theta =(\text{キ})\sin \theta$である．$\theta ={\displaystyle \frac{2}{5}}\pi$のとき，$\cos 3\theta =\cos (2\pi -2\theta )$であることから$\cos {\displaystyle \frac{2}{5}}\pi =\text{ク}$である．

(ⅱ)　$\cos 5\theta$を$x$の式で表すと$\cos 5\theta =\text{ケ}$であり，${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{10}}=\text{コ}$である．

【３】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

　座標空間内に$5$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，

$\left|\overrightarrow{a}\right|=1\text{，}$$\left|\overrightarrow{b}\right|=2\text{，}$$\left|\overrightarrow{c}\right|={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0\text{，}$$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$

であるとする．

(1)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\text{ア}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|=\text{イ}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\text{ウ}$であり，三角形$\mathrm{ABD}$の面積は$\text{エ}$である．

(2)　点$\mathrm{D}$から直線$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\text{オ}$である．よって点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{AB}$を$1:\text{カ}$の比に内分する．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{D}$の定める平面に点$\mathrm{O}$から下ろした垂線を$\mathrm{OF}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\text{キ}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\text{ク}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$であるから，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OF}}\right|=\text{ケ}$である．また，四面体$\mathrm{OABD}$の体積は$\text{コ}$である．

【４】　$0<x<1$において，$f(x)=x\log x\text{，}$$g(x)=f(1-x)=(1-x)\log (1-x)\text{，}$$h(x)=f(x)+g(x)$を考える．また，$\alpha =\log 2\text{，}$$\beta =\log 3$とおく．次の問いに答えよ．ただし，$\text{「}\alpha \text{，}$$\beta$で表せ」という場合，$\alpha$と$\beta$のうち片方だけで表せることもありうる．

(1)　$h\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$の値を$\alpha \text{，}$$\beta$で表せ．また，$h(x)-h(1-x)$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$を求めよ．また，$g^{\prime }(x)=a{f}^{\prime }(1-x)$となるような定数$a$の値を求めよ．

(3)　$h(x)$の極値を$\alpha \text{，}$$\beta$で表せ．

(4)　${\displaystyle \int }f(x)\mathit{dx}=F(x)+C_1$$\text{（}{C}_1$は積分定数）となるような関数$F(x)$を$1$つ求めよ．また，${\displaystyle \int }g(x)\mathit{dx}=bF(1-x)+C_2$$\text{（}{C}_2$は積分定数）となるような定数$b$の値を求めよ．

(5)　曲線$y=h(x)$と直線$y=h\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$で囲まれた部分の面積を$\alpha \text{，}$$\beta$で表せ．