2024　関西学院大　文系学部全学日程2月1日実施

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{AB}=3\text{，}$$\mathrm{AC}=5\text{，}$$\cos \mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．

(ⅰ)　$\mathrm{▵ABC}$の面積は$\text{ア}$であり，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の直径は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　$\mathrm{▵ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{D}$とすると，$\mathrm{OD}=\text{ウ}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\text{エ}$である．

【１】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　袋の中に$1\text{，}$$1\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$2\text{，}$$3$の$6$枚のカードが入っている．この袋から同時に$3$枚のカードを取り出し，記されている数の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とし，$X=M-m$とする．例えば，$1\text{，}$$1\text{，}$$\text{2}$のカードを取り出したとき，$X=1$である．なお，解答は既約分数にすること．

(ⅰ)　$X=0$となる確率は$\text{オ}$である．

(ⅱ)　$X=2$となる確率は$\text{カ}$である．

(ⅲ)　$X=1$であったとき，$1$のカードを取り出している条件付き確率は$\text{キ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(1)　$a$を実数とし，$x$の$3$次方程式$x^3-(a-3)x^2-(2a-1)x+3a+3=0$$\cdots \text{①}$を考える．

(ⅰ)　方程式$\text{①}$は$a$の値にかかわらず$x=\text{ア}$を解にもち，$\text{①}$の左辺を$x-(\text{ア})$で割ったときの商は$\text{イ}$である．

(ⅱ)　方程式$\text{①}$が虚数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとき，$a$の取りうる値の範囲は$\text{ウ}$である．$a$が$\text{ウ}$の範囲を動くとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$の最小値は$\text{エ}$である．

【２】　次の文章中の$$に適する式または数値を，解答用紙の同じ記号のついた$$の中に記入せよ．途中の計算を書く必要はない．

(2)　等差数列$\{a_n\}$は初項が$-3$で，$2a_2+a_4=6$を満たすとする．数列$\{a_n\}$の項のうち一の位が$5$であるものを小さい順に並べてできる数列を$\{b_n\}$とする．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\text{オ}$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=\text{カ}$である．

(ⅱ)　${\displaystyle \sum _{k=1}^{20}}{b}_{2k}=\text{キ}$である．

【３】　$f(x)=x(|x|-1)$とし，曲線$y=f(x)$を$C$とする．また，曲線$C$上の点$\mathrm{A}(-1,f(-1))$における曲線$C$の接線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x\geqq 0$における$f(x)$の最小値を$m\text{，}$$x\leqq 0$における$f(x)$の最大値を$M$とする．$m\text{，}$$M$を求めよ．

(2)　接線$l$の方程式を求めよ．また，接線$l$と曲線$C$の点$\mathrm{A}$以外の共有点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．

(3)　接線$l$と曲線$C$で囲まれた部分を$D$とする．$D$のうち，$x\leqq 0$を満たす部分の面積を$S$とし，$x\geqq 0$を満たす部分の面積を$T$とする．$S\text{，}$$T$を求めよ．