2024　関西大学　推薦システム理工(数学科)学部

【１】　次の$$をうめよ．

(1)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で，${\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}-{\displaystyle \frac{1}{\sin \theta }}={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，

$\sin \theta \cos \theta =\text{①}\text{，}$$\sin \theta -\cos \theta =\text{②}\text{，}$$\sin 3\theta +\cos 3\theta =\text{③}$

である．

【１】　次の$$をうめよ．

(2)　整式$x^{\mathrm{l50}}+7x^{100}-5x^{50}$ を$x^2+x+1$ で割った余りは$\text{④}$ である．

【１】　次の$$をうめよ．

(3)　引き分けのあるゲームで，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が$4$回対戦する．$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は${\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}$引き分ける確率は${\displaystyle \frac{1}{10}}$である．どちらかが$3$勝以上する確率は$\text{⑤}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(4)　$\sqrt[3]{2}\text{，}$$\sqrt[4]{3}\text{，}$$\sqrt[6]{5}$の大小を不等式を用いて表すと，$\text{⑥}$となる．また，$x>0$のとき，方程式$x^{\sqrt[3]{x}}={(\sqrt[3]{x})}^x$の解は$x=\text{⑦}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(5)　方程式$2{\log }_3(x+2)=1+{\log }_3\left|x\right|$の解は$x=\text{⑧}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(6)　$\mathrm{▵ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が，正の数$x$に対して，$x\overrightarrow{\mathrm{PA}}+3\overrightarrow{\mathrm{PB}}+4\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{0}$を満たしているとする．$\mathrm{▵ABP}$と$\mathrm{▵ABC}$の面積比が$4:9$であるとき，$x$の値は$\text{⑨}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(7)　$|z-2-i|=3$を満たす複素数$z$に対して，$|z+5|$の最小値は$\text{⑩}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(8)　関数$f(x)=x+\log {\displaystyle \frac{4x^2+12x+9}{{(x+2)}^5}}$$(x>-{\displaystyle \frac{3}{2}})$の導関数は$\text{⑪}$であり，$x=\text{⑫}$で極小値$\text{⑬}$をとる．

【１】　次の$$をうめよ．

(9)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}x(\sin 2x+e^{-3x^2})\mathit{dx}$の値は$\text{⑭}$である．

【１】　次の$$をうめよ．

(10)　次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$\text{⑮}$である．

$a_1=2024\text{，}$$a_{n+1}={(\sqrt[2024]{2024})}^{a_n}$

【２】　$3$つの自然数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$はいずれの$2$つをとっても互いに素であり，$x^2+y^2=z^2$を満たすとする．このとき，$z$は奇数で，$x$と$y$のうちの$1$つは奇数，他は偶数となることを示せ．