2024　関西大学　全学日程総合情報学部2月6日実施

$f_n(\theta )={\displaystyle \sum _{k=0}^n}\cos k\theta$

とおく．

(1)　$f_2(\theta )\geqq 1$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

(2)　$f_3(\theta )\geqq 1$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　$f_2(\theta )\geqq 1\text{，}$$f_3(\theta )\geqq 1\text{，}$$f_4(\theta )=0$を同時に満たす$\theta$の値を求めよ．

【２】　関数$f(x)=x^2-2x-{\log }_{2}a-{\log }_{2}b-1$について，次の問いに答えよ．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもつとき，積$ab$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解をもち，座標平面内で曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積が$36$以上となるとき，積$ab$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$f(x)=0$の異なる$2$つの実数解が${\log }_{2}a$と${\log }_{2}b$であるとき，$a$と$b$の値を求めよ．

(1)　$\overrightarrow{d}$が零ベクトルである確率は$\text{①}$である．

(2)　内積$\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{c}\geqq 7$となる確率は$\text{②}$である．

(3)　$\overrightarrow{d}$が零ベクトルでなく$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$となる確率は$\text{③}$である．

(4)　$\overrightarrow{d}$と$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$の内積が$0$でない確率は$\text{④}$である．

(5)　点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AC}$上にある確率は$\text{⑤}$である．

　$k$を正の実数とする．座標平面において，傾きがそれぞれ$k\text{，}$$k(4k^2+3)$である$2$直線のなす鋭角を$2$等分する直線$l$の傾きを求める．

　$\tan \alpha =k\text{，}$$\tan \beta =k(4k^2+3)$となる角$\alpha \text{，}$$\beta$をとる$(0<\alpha \text{，}\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\text{．}$このとき，$l$と$x$軸のなす角を$\alpha \text{，}$$\beta$で表せば$\text{①}$となる．

　$k\ne \text{②}$ならば$\tan (\alpha +\beta )=\text{③}$なので，$\tan \text{①}=\text{④}$が得られる．

　$k=\text{②}$ならば$\tan {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\text{⑤}\text{，}$$\tan {\displaystyle \frac{\beta }{2}}=\text{⑥}$なので，$\tan \text{①}=\text{⑦}$となる．

　よって，いずれの場合も$l$の傾きは$\text{④}$で与えられる．