2024　関西大学　全学日程文系2月7日実施

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき，$\sin \theta$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　(1)で求めた$\sin \theta$のとり得る値の最小値を$a$とし，最大値を$b$とする．連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq a(x+1)\\ y\leqq b(x+1)\end{array}$

の表す領域を$D$とする．領域$D$を解答欄の座標平面に図示せよ．

(3)　直線$l\text{：}y=m(x-3)+2$が(2)で求めた領域$D$と共有点を持たないとき，$m$のとり得る値の範囲を求めよ．

(1)　$f(t)=-{\displaystyle \frac{25}{4}}{t}^4+15t^3-{\displaystyle \frac{23}{2}}{t}^2+3t$とする．このとき，$f(t)$の導関数は

$f^{\prime }(t)=-25(t-1)(t-\text{①})(t-\text{②})$

となる．ただし，$\text{①}<\text{②}$とする．

　関数$f(t)$は$0\leqq t\leqq 1$において$t=\text{①}$および$t=\text{③}$で最大値をとり，$t=\text{②}$における$f(t)$の値は$\text{④}$である．

(2)　$g(x)=-{\displaystyle \frac{25}{4}}{\sin }^{4}x+15{\sin }^{3}x$$-{\displaystyle \frac{23}{2}}{\sin }^{2}x$$+3\sin x$とする．このとき，方程式$g(x)=m$の$0\leqq x\leqq \pi$の範囲における異なる解の個数$n$は次の通りとなる．

(a)　$m<0$のとき$n=0$

(b)　$0\leqq m<\text{④}$のとき$n=2$

(c)　$m=\text{④}$のとき$n=\text{⑤}$

(d)　$\text{④}<m<\text{⑥}$のとき$n=6$

(e)　$m=\text{⑥}$のとき$n=\text{⑦}$

(f)　$\text{⑥}<m$のとき$n=0$

$f(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+1}}|t^2-x^2|\mathit{dt}$

を考える．次の$$をうめよ．ただし，$\text{①}\text{，}$$\text{③}\text{，}$$\text{④}$は$a$の多項式で，ほかは数値でうめよ．

(1)　$a>0$のとき，$f(a)=\text{①}$となる．

(2)　$a<0$のとき，命題$\text{「}a\leqq t\leqq a+1$$⟹t^2-a^2\leqq 0\text{」}$が真となる$a$の範囲は$a\leqq \text{②}$である．したがって，$a\leqq \text{②}$の範囲では$f(a)=\text{③}$となる．さらに，$\text{②}<a\leqq 0$の範囲では$f(a)=\text{④}$となる．

(3)　関数$f(x)$は$x=\text{⑤}$において最小となり，最小値$\text{⑥}$をとる．