2024　関西大学　全学日程共通テスト利用理系2月7日実施

(1)　$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$y=-{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}$で囲まれた図形$A$の面積を求めよ．

(3)　(2)の図形$A$を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

　定積分を計算すると，

$\{\begin{array}{l}I+J=\text{①}\\ 3I-J=\text{②}\end{array}$

となる．この連立方程式を解くことにより，

$I=\text{③}\text{，}$$J=\text{④}$

を得る．また，等式

$(\sin x+\alpha \cos x)(\sin x+\beta \cos x)$$=5+4\cos 2x$$+2\sqrt{3}\sin 2x$

が成り立つように，定数$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$を定めると，

$\alpha =\text{⑤}\text{，}$$\beta =\text{⑥}$

である．したがって，

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{3}}}{\displaystyle \frac{10+8\cos 2x+4\sqrt{3}\sin 2x}{{(\sin x+\sqrt{3}\cos x)}^2}}\mathit{dx}=\text{⑦}$

となる．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　この試行を$n$回行ったとき，箱$\mathrm{A}$または箱$\mathrm{B}$に玉が入っている確率を求めよ．

(2)　この試行を$n$回行ったとき，箱$\mathrm{A}$に玉が入っている確率を$p_n$とする．試行を$n$回行ったとき，箱$\mathrm{B}$に玉が入っている確率を$p_n\text{，}$$n$の式で表せ．

(3)　$p_{n+1}$を$p_n\text{，}$$n$の式で表せ．

(4)　$2^n{p}_n=q_n$とおく．数列$\{q_n\}$の一般項を求めよ．

$(1+\text{⑥},0,{\displaystyle \frac{2}{\beta +2}})$

である．さらに，$k$を定数とする．点$\mathrm{P}$が平面$z=1$と平面$x=k$の交線上を動くとき，点$\mathrm{Q}$は$xz$平面上のある直線上を動く．この直線は$k$の値に関係なく定点を通る．その定点の座標空間における座標は$\text{⑦}$である．