2024　関西大学　全学日程理系2月5日実施MathJax

【１】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x-e^{-x})$を$C$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$C$上の原点$(0,0)$における接線の方程式を求めよ．

(2)　$C$の凹凸を調べて，$C$の概形を解答欄の座標平面上に描け．

(3)　$C$と$y$軸および直線$y=1$で囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

(4)　直線$y=x$に関して$C$と対称な曲線を$D$とする．$C$と$D$および直線$x=1$で囲まれる図形の面積$T$を求めよ．

【２】　$\mathrm{▵OAB}$は一辺の長さが$1$の正三角形である．$\mathrm{▵OAB}$の外部に点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{OP}={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}$$\mathrm{\angle AOP}=30\mathrm{°}$となるようにとる．次の$$をうめよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\text{①}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{②}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\text{③}$である．

(2)　$r\text{，}$$s$を定数とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とすると，$r=\text{④}\text{，}$$s=\text{⑤}$である．

(3)　$\mathrm{BP}$を直径とする円$C$があり，線分$\mathrm{OP}$の垂直二等分線と円$C$の交点のうち，直線$\mathrm{OP}$に関して点$\mathrm{B}$と同じ側にある点を$\mathrm{Q}$とする．$t\text{，}$$u$を定数とし，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OP}}$とすると，$t=\text{⑥}\text{，}$$u=\text{⑦}$であり，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は$\text{⑧}$である．

【３】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c$は定数とし，$a>0$とする．実数全体で定義される関数

$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a{x}^{2n-1}-x^2+bx+c}{x^{2n}+1}}$

を考える．次の$$をうめよ．

(1)　$\left|x\right|<1$のとき，$f(x)=\text{①}$であり，$\left|x\right|>1$のとき，$f(x)=\text{②}$である．

(2)　$f(x)$が$x=1$で連続となる条件は

$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1+0}{\lim }f(x)=f(1)$

であり，この条件を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表すと，$\text{③}+1=0$となる．

　同様にして，$f(x)$が$x=-1$で連続となる条件を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表すと，$\text{④}-1=0$となる．

(3)　$f(x)$が実数全体で連続となるとき，$f(x)$が$x=1$で最大値をとるような$a$の値の範囲は$\text{⑤}\leqq a$である．また，$0<a<\text{⑤}$のとき，$f(x)$の最大値を$M\text{，}$最小値を$m$とする．$M+m$を$a$を用いて表すと，$\text{⑥}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(1)　$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目，$2$回目に出た目の数をそれぞれ$a\text{，}$$b$とする．$|a-b|=2$となる確率は$\text{①}$である．また，$a+b$を十の位，$a-b$を一の位とする$2$桁の自然数となる確率は$\text{②}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(2)　$x$の$4$次方程式$2x^4+7x^3-7x^2+28x-60=0$が純虚数解$pi$$\text{（}p$は$0$でない実数，$i$は虚数単位）をもつような$p$をすべて求めると，$p=\text{③}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(3)　関数$y=-4\sin \theta +7\cos \theta$がある．$0\leqq \theta \leqq \pi$における$y$の最小値は$\text{④}$であり，このときの$\theta$の値を${\theta }_1$とすると，$\tan {\theta }_1=\text{⑤}$である．

【４】　次の$$をうめよ．

(4)　$2$点$\mathrm{A}$$(-\sqrt{7},0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(\sqrt{7},0)$を焦点とし，焦点からの距離の差が$2$である双曲線の漸近線を$l$とする．$l$の方程式は，$y=\pm \text{⑥}x$である．$l$と傾きが同じで$y$切片が$k$である直線が，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を焦点とし，焦点からの距離の和が$4\sqrt{2}$である楕円に接するとき，$k=\pm \text{⑦}$である．