2024　関西大学　総合情報学部2月3日実施

$C_1\text{：}y=x^3-2(a+b-1)x^2$$+b(2a+b-3)x$

$C_2\text{：}y=2x^2-3bx$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$の共有点をすべて求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$が囲む$2$つの部分の面積が等しいとき，$b$を$a$で表せ．

(3)　(2)のとき，$C_1$と$C_2$が囲む部分の面積を$a$で表せ．

(1)　$1$回戦で五段の棋士どうしが対戦する確率を求めよ．

(2)　決勝戦が五段の棋士と九段の棋士の対戦になる確率を求めよ．

(3)　優勝者が五段の棋士となる確率$P(x)$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$P(x)$が$0\leqq P(x)\leqq 1$を満たすことを示せ．

　$a$のとりうる値の範囲は$\text{①}<a<\text{②}$である．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{M}$の座標は$(\text{③},\text{③}a)$だから，$a$の値が変化するとき，$\mathrm{M}$は中心が$(\text{④},\text{⑤})$で半径が$\text{⑥}$である円の$\text{①}x<y<\text{②}x$を満たす部分を描く．

　解と係数の関係より$A_1=\alpha +\beta =\text{①}p\text{，}$$\alpha \beta =\text{②}{p}^2$であるから，$A_2=(\text{③})p^2\text{，}$$A_3=(\text{④})p^3$である．

　${\alpha }^2+ap\alpha +b{p}^2=0\cdots \text{㋐}\text{，}$${\beta }^2+ap\beta +b{p}^2=0\cdots \text{㋑}$が成り立つから，$\text{㋐}$と$\text{㋑}$の両辺にそれぞれ$\alpha$や$\beta$の$n$乗を掛けて得られる$2$式の辺々を加えれば，数列$\{A_n\}$は漸化式$A_{n+2}+ap{A}_{n+1}+b{p}^2{A}_n=0$を満たすことがわかる．$a=-3\text{，}$$b=2$のとき，$a_n={\displaystyle \frac{A_n}{p^n}}$とおいて階差数列$\{a_{n+1}-a_n\}$を考えれば，これは公比が$\text{⑤}$の等比数列なので，$A_n=(\text{⑥})p^n$が得られる．