2024　関西大学　全学日程文系2月2日実施

【１】　$\mathrm{▵ABC}$において，各辺の長さが$\mathrm{AB}=2x+2\text{，}$$\mathrm{BC}=3x-2\text{，}$$\mathrm{CA}=5$であるとする．次の問いに答えよ．

(1)　$x$のとり得る値の範囲を求めよ．

(2)　$\cos A={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，$x$の値を求めよ．

(3)　$\cos A={\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき，$\mathrm{▵ABC}$の外接円の半径，および内接円の半径を求めよ．

【２】　次の$$をうめよ．ただし，$\text{①}\text{，}$$\text{②}$は$a\text{，}$$b$の式で，$\text{④}$は実数値で，$\text{⑤}\text{，}$$\text{⑥}$は$x$の式で，$\text{⑦}$は複素数値でうめよ．

　$a\text{，}$$b$を実数とし，

$z=a{(2+\sqrt{3}i)}^3+b{(2+\sqrt{3}i)}^2+49$

とおく．ただし，$i$は虚数単位である．このとき，$z$の実部は$\text{①}\text{，}$虚部は$\sqrt{3}(\text{②})$である．$z=0$となる$a\text{，}$$b$を求めると，$(a,b)=\text{③}$である．このとき，整式$a{x}^3+b{x}^2+49$は，

$a{x}^3+b{x}^2+49=(ax+\text{④})P(x)$

と因数分解することができる．ただし，$P(x)$は$x$の$2$次式である．ここで，整式$Q(x)$を

$Q(x)=x^5-4x^4+7x^3+x^2-2x+8$

により定める．このとき，$Q(x)$を$P(x)$で割ったときの商は$\text{⑤}\text{，}$余りは$\text{⑥}$である．さらに，$Q(2+\sqrt{3}i)=\text{⑦}$である．

【３】　放物線$C_1\text{：}y=x^2+px+q$は直線$y=x$上に頂点をもつとする．$C_1$の頂点の$x$座標を$t$とし，放物線$y=1-x^2$を$C_2$とする．このとき，次の$$をうめよ．ただし，$\text{①}\text{〜}$$\text{④}$は$t$を含む式，$\text{⑤}\text{〜}$$\text{⑦}$は数値でうめよ．

(1)　$p\text{，}$$q$を$t$で表すと$p=\text{①}\text{，}$$q=\text{②}$である．

(2)　$C_1$と$C_2$が異なる$2$つの共有点をもつような$t$の値の範囲は$\text{③}$である．

　以下においては，$t$は$\text{③}$の範囲にあるとする．

(3)　$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha \text{，}$$\beta$とすると，$\beta -\alpha =\text{④}$である．ただし，$\alpha <\beta$とする．

(4)　$\beta -\alpha$は$t=\text{⑤}$において最大値$\text{⑥}$をとる．

(5)　$t=\text{⑤}$のもとで，$\text{⑤}\leqq x\leqq 0$において，$C_1\text{，}$$C_2$および直線$x=\text{⑤}$と$y$軸で囲まれた部分の面積は$\text{⑦}$である．