2024　関西大学　全学日程総合情報学部2月1日実施

【１】　正三角形${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0$において，$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0}=\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{C}}_0}=\overrightarrow{q}$とおく．辺${\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0\text{，}$${\mathrm{B}}_0{\mathrm{C}}_0\text{，}$${\mathrm{C}}_0{\mathrm{A}}_0$を$2:1$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1$とする．さらに$\mathrm{▵}{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$について，辺${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1\text{，}$${\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_1$を$2:1$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{C}}_2$とする．この操作を$n$回繰り返したときに得られる点を${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}$を$\overrightarrow{p}$と$\overrightarrow{q}$で表し，内積$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{B}}_0}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}$の値を求めよ．

(2)　自然数$k$に対して，

$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_{k+1}{\mathrm{B}}_{k+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_{k-1}{\mathrm{B}}_{k-1}}$

が成立することを示せ．

(3)　$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_{2n}}$を$\overrightarrow{p}\text{，}$$\overrightarrow{q}$と$n$で表せ．

【２】　$k$を実数として$f(x)=x^2-2kx+2k^2-3k+1$とする．方程式$f(x)=0$が$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}$$\beta$が$\alpha \leqq 1\leqq \beta$を満たすとき，$k$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　(1)のとき，$xy$平面内の曲線$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積$S$を$k$を用いて表せ．また，$S$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　$4$人がじゃんけんで勝ち抜き戦を行う．ただし，グー，チョキ，パーを出す確率は$4$人ともすべて${\displaystyle \frac{1}{3}}$とする．$1$回目のじゃんけんであいこであるか，勝者が複数の場合に限り，$1$回目で負けた者を除いて$2$回目のじゃんけんを行うことにする．次の$$をうめよ．

(1)　$1$回目のじゃんけんで$1$人だけが勝つ確率は$\text{①}$である．

(2)　$1$回目のじゃんけんで$2$人だけが勝つ確率は$\text{②}$である．

(3)　$1$回目のじゃんけんであいこになる確率は$\text{③}$である．

(4)　$1$回目のじゃんけんでちょうど$2$人が勝ち残り，勝った$2$人で$2$回目のじゃんけんを行って勝者が$1$人決まる確率は$\text{④}$である．

(5)　ちょうど$2$回目のじゃんけんで勝者が$1$人決まる確率は$\text{⑤}$である．

【４】　$xy$平面において，点$(-1,3)$からの距離が${\displaystyle \frac{2}{13}}$で傾きが$-{\displaystyle \frac{12}{5}}$である$2$直線のうち，$y$切片が小さいほうを$l_1$とし大きいほうを$l_2$とする．次の$$をうめよ．

　$l_1\text{，}$$l_2$の方程式は，それぞれ$12x+5y=\text{①}\text{，}$$12x+5y=\text{②}$であるから，$l_1\text{，}$$l_2$上の任意の格子点の座標は，整数$k\text{，}$$n$を用いてそれぞれ

$(\text{③}k-\text{④},5-\text{⑤}k)\text{，}$

$(\text{③}n,\text{⑥}-\text{⑤}n)$

と表すことができる．ただし，格子点とはその$x$座標，$y$座標がともに整数である点をいう．点${\mathrm{P}}_1$と点${\mathrm{P}}_2$がそれぞれ$l_1\text{，}$$l_2$上の格子点であるとき，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$の距離の最小値は$\text{⑦}$である．