2024　関西大　全学日程文系2月3日実施

【１】　次のように定められる各項が正の数である数列$\{a_n\}$を考える．

$a_1=100\text{，}$${\left({\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\right)}^{n^2+n}=10$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

次の問いに答えよ．

(1)　${\log }_{10}{a}_n=b_n$とおく．$b_{n+1}-b_n$を$n$の式で表せ．

(2)　一般項$b_n$を求め，さらに一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$a_n\geqq 800$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

【２】　次の$$をうめよ．

　箱の中に，$0$から$9$までの番号が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱の中から，$1$枚のカードを選び，書かれた番号を確認し，元に戻す試行を$3$回行う．

　$1$回目，$2$回目，$3$回目に選んだカードの番号を順に$x_1\text{，}$$x_2\text{，}$$x_3$としたとき，

$x={\displaystyle \frac{x_1}{10}}+{\displaystyle \frac{x_2}{{10}^2}}+{\displaystyle \frac{x_3}{{10}^3}}$

と定める．

(1)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$となるのは，$x_1=0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4$の場合である．したがって，$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$となる確率は$\text{①}$である．

(2)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$となる確率を求める．まず，$x_1=0\text{，}$$1\text{，}$$2$のとき，$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$となる．また，$x_1=0\text{，}$$1\text{，}$$2$となる確率は$\text{②}$である．

　次に，$x_1=3\text{，}$$x_2=0\text{，}$$1\text{，}$$2$のとき，$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$となる．また，$x_1=3\text{，}$$x_2=0\text{，}$$1\text{，}$$2$となる確率は$\text{③}$である．さらに，$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{④}}{{10}^3}}$である．

(3)　$0\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{8}}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{⑤}}{{10}^3}}$となる．したがって，${\displaystyle \frac{1}{8}}\leqq x<{\displaystyle \frac{1}{3}}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{⑥}}{{10}^3}}$である．

【３】　$k$を正の実数とし，直線$l\text{：}y=3x$に関して点$\mathrm{A}$$(0,k)$と対称な点$\mathrm{B}$の座標を$(p,q)$とする．次の$$をうめよ．ただし，$\text{③}$以外は数値でうめよ．

　直線$\mathrm{AB}$は直線$l$に直交することから

$q-k=\text{①}p$$\cdots$(1)

が成り立つ．また，線分$\mathrm{AB}$の中点は直線$l$上にあることから

$q+k=\text{②}p$$\cdots$(2)

が成り立つ．(1)，(2)を連立させて$p\text{，}$$q$について解くと，$\mathrm{B}$の座標は$k$を用いて$\text{③}$と表されることがわかる．

　点$\mathrm{C}$$(1,4)$をとる．線分$\mathrm{BC}$の長さは

${\displaystyle \frac{1}{5}}\sqrt{25k^2-\text{④}k+\text{⑤}}$

である．$l$上の点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{CP}$の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{CP}$が最小となるように定める．$\mathrm{AP}+\mathrm{CP}$は$k=\text{⑥}$のとき最小となり，最小値は$\text{⑦}$である．