2024　関西大学　全学日程文系2月5日実施

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式

$4{\log }_4(t+1)+1\leqq {\log }_2(t+4)$

を解け．

(2)　(1)で求めた範囲の$t$に対して，関数$f(t)$を

$f(t)=2^{3t}-5\cdot 2^{2t-1}+2^{t+1}$

により定める．$f(t)$の最小値を求めよ．

【２】　円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}$$(a,\sqrt{1-a^2})$$\text{（}0<a<1\text{）}$における接線$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．次の$$をうめよ．

　接線$l$の方程式は

$y=\text{①}x+\text{②}$

となり，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$\text{③}$となる．$\mathrm{O}$を原点としたとき，$\mathrm{▵OPQ}$の面積$S$は

$S=\text{④}$

と表される．$S=\sqrt{2}$のとき，$\mathrm{P}$の$x$座標$a$は$\text{⑤}$となり，線分$\mathrm{RQ}$の長さは$\text{⑥}$となる．

【３】　次の$$をうめよ．

　図１の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の頂点を動く$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$が頂点$\mathrm{A}$の位置にある．

　$1$個のサイコロを$3$回投げて，$1$回目，$2$回目，$3$回目に投げたサイコロの出た目の数だけ，順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$は反時計回りに隣りの頂点に移動するものとする．また，$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$のうち，異なる頂点にあるものを線分で結ぶ．

　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$で三角形ができる確率は$\text{①}$である．$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$で正三角形ができる確率は$\text{②}$であり，$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$で正三角形ではない二等辺三角形ができる確率は$\text{③}$である．したがって，$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$で正三角形，二等辺三角形以外の三角形ができる確率は$\text{④}$である．

　次に図２の正五角形$\mathrm{ABCDE}$の頂点を動く点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$が頂点$\mathrm{A}$の位置にある場合を考える．

　$1$個のサイコロを$3$回投げて，$1$回目，$2$回目，$3$回目に投げたサイコロの出た目の数だけ，順に${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$は反時計回りに隣りの頂点に移動するものとする．$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$のうち，異なる頂点にあるものを線分で結ぶ．

　$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$で三角形ができ，かつ${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$のいずれの点も頂点$\mathrm{B}$の位置にない確率は$\text{⑤}$である．$3$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2\text{，}$${\mathrm{P}}_3$で三角形ができる確率は$\text{⑥}$である．