2024　関西大学　全学日程理系2月2日実施

(1)　$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\beta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$0<\gamma <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．$\cos \alpha =2\sin 2\alpha \text{，}$$2\sin 2\beta =\tan \beta \text{，}$$\cos \gamma =\tan \gamma$のとき，$\sin \alpha \text{，}$$\sin \beta \text{，}$$\sin \gamma$の値を求めよ．

(2)　(1)の$\alpha \text{，}$$\beta \text{，}$$\gamma$に対して，次の関数のグラフの概形を解答欄の座標平面（右図）上に図示せよ．

$y=\cos x\text{（}\alpha \leqq x\leqq \beta \text{），}$

$y=2\sin 2x\text{（}\alpha \leqq x\leqq \beta \text{），}$

$y=\tan x\text{（}\alpha \leqq x\leqq \beta \text{）}$

　ただし，$3$つの曲線，およびそれぞれの交点から$x$軸に下ろした垂線のみをかき入れ，途中の議論は述べなくてよい．

(3)　(2)の$3$つの曲線で囲まれた部分の面積を求めると，

$\text{①}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log (2(\text{②}))$

となる．$\text{①}\text{，}$$\text{②}$を数値でうめよ．ただし，途中の議論も記述せよ．

　複素数平面において，$2$点$\mathrm{A}(\alpha )\text{，}$$\mathrm{B}(\beta )$を通る直線を$l$とする．また，原点$\mathrm{O}$を通り，$l$に垂直に交わる直線を$m$とする．

　$z$を複素数とする．点$z$が$l$上にあるとき，${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\beta -\alpha }}$が実数になることから，

$(\bar{\beta }-\bar{\alpha })z-(\text{①})\bar{z}=\text{②}$(1)

が成り立つ．

　点$z$が$m$上にあるとき，${\displaystyle \frac{z}{\beta -\alpha }}$が純虚数になることから，

$(\bar{\beta }-\bar{\alpha })z+(\text{①})\bar{z}=\text{③}$(2)

が成り立つ．

　$l$と$m$ の交点を$\mathrm{C}(w)$ とする．このとき(1)，(2)から，

$w={\displaystyle \frac{\text{②}}{\text{④}}}$

となる．

　ここで，

点$z$が線分$\mathrm{AB}$上にある$⟺$${\displaystyle \frac{z-\alpha }{\beta -\alpha }}$が$0$以上$1$以下の実数となる．

であることを用いて，点$\mathrm{C}(w)$が線分$\mathrm{AB}$上にあるための必要十分条件を求めると，

$2{\left|\alpha \right|}^2-2{|\beta -\alpha |}^2\leqq \text{⑤}\leqq 2{\left|\alpha \right|}^2$(3)

となる．

　$i$を虚数単位とする．$a\text{，}$$b$を少なくともどちらか一方は$0$でない実数とし，$\alpha =a+bi$とおく．集合

$\{\beta |\beta \text{は不等式}|\beta -(a+bi)|\leqq |a+bi|$$\text{および(3)を満たす}\}$$\cup \{a+bi\}$

が定める$2$つの図形の面積の和を$a\text{，}$$b$を用いて表すと，$\text{⑥}$となる．

【３】　右の図のような直方体と$5$点$\mathrm{A}$$(0,0,2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(1,0,1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,2,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(2,0,0)\text{，}$$\mathrm{P}$$(1,2,1)$をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$\mathrm{AC}$と$y$軸の交点を$\mathrm{E}$とするとき，点$\mathrm{E}$の座標を求めよ．

(2)　$\cos \mathrm{\angle BAC}$の値を求め，$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵ADE}$の面積を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$から，$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の定める平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を$(x,y,z)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$から$x\text{，}$$z$を$y$を用いて表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と表すとき，$y\text{，}$$s\text{，}$$t$の値を求めよ．

(4)　直方体を平面$\mathrm{ABC}$で切った切り口を底面，点$\mathrm{P}$を頂点とする角錐の体積を求めよ．